Упр.7.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выполните в указанном порядке задания а) и б , и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества E(f) значений функции у = /(x , исследуя вопрос существования корней уравнения f(x) = а, a также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения f(x) = а, если известно E{f). а) Найдите область значений функции у = x2 — 4x — 1 и определите, при каких значениях параметра b уравнение b = x2 — 4x — 1 имеет хотя бы один корень из. б) Определите, при каких значениях параметра а уравнение x2 + 4x — 3 = а имеет хотя бы один корень из и найдите область значений функции у = x2 + 4x — 3.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=x^2-4x-1.$$ Это парабола, ветви направлены вверх, так как $$a=1>0.$$

Найдём координаты вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$

$$y_0=2^2-4\cdot 2-1=4-8-1=-5.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-5,$$ значит

$$E(f)=[-5;+\infty).$$

Уравнение $$b=x^2-4x-1$$ имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда число $$b$$ принадлежит множеству значений функции, то есть

$$b\ge -5.$$

б) Рассмотрим уравнение $$x^2+4x-3=a.$$ Перепишем его так:

$$x^2+4x-(3+a)=0.$$

Дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-(3+a))=16+12+4a=28+4a=4(7+a).$$

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, нужно $$D\ge 0,$$ то есть

$$4(7+a)\ge 0,$$

$$a\ge -7.$$

Теперь найдём область значений функции $$y=x^2+4x-3.$$ Это парабола с ветвями вверх. Координаты вершины:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$

$$y_0=(-2)^2+4\cdot (-2)-3=4-8-3=-7.$$

Значит,

$$E(f)=[-7;+\infty).$$

Обобщение. Уравнение $$f(x)=a$$ имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда $$a\in E(f).$$

Если известно множество значений функции $$E(f),$$ то для исследования существования корней уравнения $$f(x)=a$$ достаточно проверить, принадлежит ли число $$a$$ этому множеству.