Упр.7.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: а) у = |x| • (x — 6) — 2; б) у = x • |x — 6| — 2.

а) $$y=|x|\cdot(x-6)-2.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$y=x(x-6)-2=x^2-6x-2.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3,$$

$$y(3)=3^2-6\cdot 3-2=-11.$$

Следовательно, при $$x\ge 0$$ значения функции: $$y\ge -11.$$

2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$y=-x(x-6)-2=-x^2+6x-2.$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Её вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$

$$y(3)=-3^2+6\cdot 3-2=7.$$

При $$x<0$$ получаем значения $$y<7,$$ а так как при $$x\ge 0$$ функция принимает все значения от $$-11$$ и выше, то область значений всей функции:

$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

б) $$y=x\cdot|x-6|-2.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 6,$$ то $$|x-6|=x-6,$$ значит

$$y=x(x-6)-2=x^2-6x-2.$$

Вершина параболы:

$$x_0=3,\qquad y(3)=-11.$$

Но при $$x\ge 6$$ эта ветвь возрастает, поэтому здесь $$y\ge 10.$$

2) Если $$x<6,$$ то $$|x-6|=6-x,$$ значит

$$y=x(6-x)-2=-x^2+6x-2.$$

Вершина:

$$x_0=3,\qquad y(3)=7.$$

При $$x<6$$ эта ветвь даёт все значения до $$7$$ включительно, то есть $$y\le 7.$$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$(-\infty;+\infty).$$