Упр.7.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пусть область значений функции у = f(x) есть отрезок [-3; 5]. Найдите все целочисленные значения функции:

Пусть $$E(f)=[-3;5].$$ Найдём, какие целые значения принимает каждая из данных функций.

1. $$y=\frac{7}{5+f(x)}$$

   Так как $$f(x)\in[-3;5],$$ то

   $$ 5+f(x)\in[2;10]. $$

   Следовательно,

   $$ y\in\left[\frac{7}{10};\frac{7}{2}\right]=[0{,}7;3{,}5]. $$

   Целые значения: $$1,\ 2,\ 3.$$

2. $$y=\frac{8+f(x)}{7+f(x)}=1+\frac{1}{7+f(x)}$$

   Так как $$f(x)\in[-3;5],$$ то

   $$ 7+f(x)\in[4;12]. $$

   Тогда

   $$ \frac{1}{7+f(x)}\in\left[\frac{1}{12};\frac{1}{4}\right], $$

   а значит

   $$ y\in\left[1+\frac{1}{12};1+\frac{1}{4}\right]=\left[\frac{13}{12};\frac{5}{4}\right]. $$

   Целых значений нет.

3. $$y=\frac{15}{7-f(x)}$$

   Так как $$f(x)\in[-3;5],$$ то

   $$ 7-f(x)\in[2;10]. $$

   Следовательно,

   $$ y\in\left[\frac{15}{10};\frac{15}{2}\right]=[1{,}5;7{,}5]. $$

   Целые значения: $$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7.$$

4. $$y=\frac{f(x)}{6-f(x)}$$

   Преобразуем:

   $$ y=\frac{f(x)-6+6}{6-f(x)}=-1+\frac{6}{6-f(x)}. $$

   Так как $$f(x)\in[-3;5],$$ то

   $$ 6-f(x)\in[1;9]. $$

   Тогда

   $$ \frac{6}{6-f(x)}\in\left[\frac{6}{9};\frac{6}{1}\right]=\left[\frac{2}{3};6\right], $$

   и значит

   $$ y\in\left[-1+\frac{2}{3};-1+6\right]=\left[-\frac{1}{3};5\right]. $$

   Целые значения: $$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5.$$

Ответ

а) $$1,\ 2,\ 3$$; б) целых значений нет; в) $$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$$; г) $$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$$.