Упр.7.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Докажите, что все значения функции у = 5х + 3 положительны в окрестности точки 0 радиуса 0,2. б) Докажите, что в 0,5-окрестности точки -1 найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции у = 5x + 3.

а) Рассмотрим окрестность точки $$0$$ радиуса $$0{,}2$$: $$x \in (-0{,}2; 0{,}2).$$

Функция $$y=5x+3$$ — линейная, значит на этом промежутке достаточно проверить значения на границах:

$$ y(-0{,}2)=5\cdot(-0{,}2)+3=-1+3=2, $$
$$ y(0{,}2)=5\cdot 0{,}2+3=1+3=4. $$

Так как на концах промежутка значения положительны, а функция линейная, то на всём отрезке $$[-0{,}2; 0{,}2]$$ значения функции тоже положительны.

б) Рассмотрим $$0{,}5$$-окрестность точки $$-1$$:

$$x \in (-1{,}5; -0{,}5).$$

Проверим значения функции на границах:

$$ y(-1{,}5)=5\cdot(-1{,}5)+3=-7{,}5+3=-4{,}5<0, $$ $$ y(-0{,}5)=5\cdot(-0{,}5)+3=-2{,}5+3=0{,}5>0. $$

Следовательно, в $$0{,}5$$-окрестности точки $$-1$$ есть и отрицательные, и положительные значения функции.

Ответ

а) В $$0{,}2$$-окрестности точки $$0$$ все значения функции положительны.
б) В $$0{,}5$$-окрестности точки $$-1$$ имеются как положительные, так и отрицательные значения функции.