Упр.7.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$y=2+\frac{x}{|x|}$$

   Если $$x>0$$, то $$|x|=x$$, значит

   $$y=2+\frac{x}{x}=2+1=3.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

   $$y=2+\frac{x}{-x}=2-1=1.$$

   Следовательно, $$E(y)=\{1;3\}.$$

2. $$y=x^2+2x-\frac{x}{|x|}$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y=x^2+2x-\frac{x}{x}=x^2+2x-1.$$

   Если $$x<0$$, то

   $$y=x^2+2x-\frac{x}{-x}=x^2+2x+1.$$

   Для параболы $$y=x^2+2x-1$$ вершина имеет абсциссу

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$

   но при $$x>0$$ эта ветвь принимает наименьшее значение при $$x\to 0+$$:

   $$y_{\min}=-1.$$

   Для $$y=x^2+2x+1=(x+1)^2$$ при $$x<0$$ наименьшее значение равно $$0$$ при $$x=-1$$.

   Значит, множество значений:

   $$E(y)=[-1;+\infty).$$

3. $$y=2x-\frac{x}{|x|}$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y=2x-\frac{x}{x}=2x-1.$$

   Если $$x<0$$, то

   $$y=2x-\frac{x}{-x}=2x+1.$$

   Обе части задают прямые, а при $$x>0$$ и $$x<0$$ значения $$y$$ не ограничены ни сверху, ни снизу.

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

4. $$y=x^2-2x+\frac{x+1}{|x+1|}$$

   Если $$x>-1$$, то $$|x+1|=x+1$$, значит

   $$y=x^2-2x+\frac{x+1}{x+1}=x^2-2x+1=(x-1)^2.$$

   Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-(x+1)$$, значит

   $$y=x^2-2x+\frac{x+1}{-(x+1)}=x^2-2x-1.$$

   При $$x>-1$$ имеем $$y=(x-1)^2\ge 0$$, а при $$x<-1$$ значение $$y=x^2-2x-1$$ также не меньше $$2$$, так как при $$x=-1$$ получаем $$2$$.

   Следовательно,

   $$E(y)=[0;+\infty).$$

Ответ

а) $$\{1;3\}$$; б) $$[-1;+\infty)$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$[0;+\infty)$$.