Упр.7.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Функция имеет вид $$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{ax+4}.$$

Чтобы выражение имело смысл, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3,$$
$$ax+4\ge 0,\quad ax\ge -4.$$

Рассмотрим случаи.

1. Область определения — луч.

   Это возможно, если второе неравенство не сужает область определения по сравнению с $$x\ge 3.$$

   При $$a\ge 0$$ из условия $$ax+4\ge 0$$ ограничений на $$x\ge 3$$ не возникает, значит область определения — луч.

2. Область определения — отрезок.

   Нужно, чтобы $$a<0,$$ тогда

   $$ax+4\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -\frac{4}{a}.$$

   Совместно с $$x\ge 3$$ получаем отрезок, если

   $$3<-\frac{4}{a}.$$

   Так как $$a<0,$$ умножаем неравенство на $$a$$ с изменением знака:

   $$3a>-4,$$
   $$a>-\frac{4}{3}.$$

   Итак,

   $$-\frac{4}{3}<a<0.$$

3. Область определения — единственное число.

   Это происходит, когда границы совпадают:

   $$3=-\frac{4}{a}.$$

   Тогда

   $$3a=-4,$$
   $$a=-\frac{4}{3}.$$

4. Область определения — пустое множество.

   При $$a<0$$ область задаётся условиями

   $$x\ge 3,\quad x\le -\frac{4}{a}.$$

   Если

   $$3>-\frac{4}{a},$$

   то решений нет. Умножая на отрицательное число $$a,$$ получаем

   $$3a<-4,$$
   $$a<-\frac{4}{3}.$$

Ответ

а) $$a\ge 0$$; б) $$-\frac{4}{3}<a<0$$; в) $$a=-\frac{4}{3}$$; г) $$a<-\frac{4}{3}$$.