Упр.7.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра а:
$$y=\dfrac{\sqrt{x-a}}{x^2-1}$$
Чтобы функция была определена, нужно:
$$x-a\ge 0,\qquad x^2-1\ne 0.$$
Отсюда
$$x\ge a,\qquad x\ne -1,\ x\ne 1.$$
Рассмотрим расположение числа $a$ относительно точек $-1$ и $1$:
если $a<-1$, то $$D(f)=[a;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty);$$
если $a=-1$, то $$D(f)=(-1;1)\cup(1;+\infty);$$
если $-1<a<1$, то $$D(f)=[a;1)\cup(1;+\infty);$$
если $a=1$, то $$D(f)=(1;+\infty);$$
если $a>1$, то $$D(f)=[a;+\infty).$$
$$y=\sqrt{1-a|x|}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$1-a|x|\ge 0.$$
Если $a\le 0$, то неравенство выполняется при любом $x$, значит
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Если $a>0$, то
$$|x|\le \frac1a,$$
то есть
$$-\frac1a\le x\le \frac1a.$$
Следовательно,
$$D(f)=\left[-\frac1a;\frac1a\right].$$
$$y=\dfrac{\sqrt{x^2-7x+12}}{x-a}$$
Нужно, чтобы
$$x^2-7x+12\ge 0,\qquad x-a\ne 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$
Тогда
$$ (x-3)(x-4)\ge 0 \Rightarrow x\le 3 \text{ или } x\ge 4.$$
Теперь исключим точку $x=a$.
Получаем:
если $a<3$, то $$D(f)=(-\infty;a)\cup(a;3]\cup[4;+\infty);$$
если $a=3$, то $$D(f)=(-\infty;3)\cup[4;+\infty);$$
если $3<a<4$, то $$D(f)=(-\infty;3]\cup[4;+\infty);$$
если $a=4$, то $$D(f)=(-\infty;3]\cup(4;+\infty);$$
если $a>4$, то $$D(f)=(-\infty;3]\cup[4;a)\cup(a;+\infty).$$
$$y=\dfrac{a x^3-\sqrt{-x^2-7x+8}}{1+\sqrt{x-a}}$$
Для существования функции нужно:
$$-x^2-7x+8\ge 0,\qquad x-a\ge 0,\qquad 1+\sqrt{x-a}\ne 0.$$
Так как $$1+\sqrt{x-a}>0,$$ последнее условие выполняется всегда.
Решим неравенство под корнем:
$$-x^2-7x+8\ge 0$$
$$x^2+7x-8\le 0$$
$$ (x+8)(x-1)\le 0,$$
откуда
$$-8\le x\le 1.$$
Также должно быть $$x\ge a.$$
Тогда область определения зависит от параметра:
если $a\le -8$, то $$D(f)=[-8;1];$$
если $-8<a<1$, то $$D(f)=[a;1];$$
если $a=1$, то $$D(f)=\{1\};$$
если $a>1$, то $$D(f)=\varnothing.$$
Ответ
а) $$\begin{cases} a<-1: & D(f)=[a;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty),\\ a=-1: & D(f)=(-1;1)\cup(1;+\infty),\\ -1<a<1: & D(f)=[a;1)\cup(1;+\infty),\\ a=1: & D(f)=(1;+\infty),\\ a>1: & D(f)=[a;+\infty). \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} a\le 0: & D(f)=\mathbb{R},\\ a>0: & D(f)=\left[-\dfrac1a;\dfrac1a\right]. \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} a<3: & D(f)=(-\infty;a)\cup(a;3]\cup[4;+\infty),\\ a=3: & D(f)=(-\infty;3)\cup[4;+\infty),\\ 3<a<4: & D(f)=(-\infty;3]\cup[4;+\infty),\\ a=4: & D(f)=(-\infty;3]\cup(4;+\infty),\\ a>4: & D(f)=(-\infty;3]\cup[4;a)\cup(a;+\infty). \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} a\le -8: & D(f)=[-8;1],\\ -8<a<1: & D(f)=[a;1],\\ a=1: & D(f)=\{1\},\\ a>1: & D(f)=\varnothing. \end{cases}$$
