Упр.7.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{x-5}{2x+2}=\frac{x-5}{2(x+1)}=\frac{(x+1)-6}{2(x+1)}=\frac12\left(1-\frac{6}{x+1}\right)=\frac12-\frac{3}{x+1}. $$

Отсюда:

$$x+1\ne 0,\quad x\ne -1.$$

Значит, область определения:

$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

Так как

$$y=\frac12-\frac{3}{x+1},$$

то при любом допустимом $x$ значение $y$ не может быть равно $\frac12$. Следовательно, множество значений:

$$E(y)=(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty).$$

Асимптоты гиперболы:

$$x=-1,\qquad y=\frac12.$$

б) Рассмотрим дробно-линейную функцию

$$y=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne 0,\qquad \frac{a}{c}\ne \frac{b}{d}.$$

Выразим $x$ через $y$:

$$ ycx+yd=ax+b, $$

$$ ycx-ax=b-yd, $$

$$ x(yc-a)=b-yd, $$

$$ x=\frac{b-yd}{yc-a}. $$

Из условия существования функции:

$$cx+d\ne 0,\qquad x\ne -\frac{d}{c}.$$

Из условия существования выражения для $x$:

$$yc-a\ne 0,\qquad y\ne \frac{a}{c}.$$

Следовательно, дробно-линейная функция имеет две асимптоты:

$$x=-\frac{d}{c},\qquad y=\frac{a}{c}.$$

Значит, её графиком является гипербола.

Ответ

а) $D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$, $E(y)=(-\infty;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty)$, асимптоты: $x=-1$, $y=\tfrac12$.
б) Асимптоты: $x=-\dfrac{d}{c}$, $y=\dfrac{a}{c}$; график — гипербола.