Упр.66 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 66. От пристани А до пристани В, расстояние между которыми 10 км, вниз по течению реки отправился плот. Через некоторое время вслед за ним отправился катер, который догнал плот через 15 мин и тут же, не меняя своей скорости, повернул обратно. Известно, что плот причалил к пристани В на 54 мин позже, чем катер к пристани Л. Найдите собственную скорость катера и время движения плота до момента начала движения катера от пристани А, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость движения катера больше 10 км/ч. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 mord-prof10 povtor/66 108
Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера, а $$t$$ ч — время, через которое после отправления плота катер начал движение.
Тогда скорость плота равна $$2$$ км/ч, скорость катера по течению — $$x+2$$ км/ч, против течения — $$x-2$$ км/ч.
Через $$15$$ минут $$=0{,}25$$ ч катер догнал плот, значит, их пути до встречи равны:
$$0{,}25(x+2)=2(t+0{,}25).$$
Отсюда
$$0{,}25x+0{,}5=2t+0{,}5,$$
$$0{,}25x=2t,$$
$$x=8t.$$
После встречи катер повернул обратно и пошёл против течения. Время его движения от встречи до пристани $$A$$ равно
$$\frac{0{,}25(x+2)}{x-2}.$$
Плот за всё это время прошёл путь до пристани $$B$$, то есть
$$10-2(t+0{,}25)=9{,}5-2t.$$
По условию плот причалил к пристани $$B$$ на $$54$$ минуты $$=0{,}9$$ ч позже, чем катер к пристани $$A$$, поэтому
$$\frac{0{,}25(x+2)}{x-2}+0{,}9=\frac{9{,}5-2t}{2}.$$
Подставим $$x=8t$$:
$$\frac{0{,}25(8t+2)}{8t-2}+0{,}9=\frac{9{,}5-2t}{2}.$$
Умножим на $$2(8t-2)$$:
$$0{,}5(8t+2)+1{,}8(8t-2)=(9{,}5-2t)(8t-2).$$
После преобразований получаем квадратное уравнение:
$$40t^2-154t+41=0.$$
Найдём корни:
$$D=154^2-4\cdot 40\cdot 41=17156=4\cdot 4289,$$
$$t=\frac{154\pm 2\sqrt{4289}}{80}=\frac{77\pm \sqrt{4289}}{40}.$$
Подходит корень
$$t=\frac{77-\sqrt{4289}}{40}\approx 0{,}29 \text{ ч}.$$
Тогда
$$x=8t\approx 8\cdot 0{,}28775\approx 2{,}30.$$
Так как по условию собственная скорость катера больше $$10$$ км/ч, берём второй корень:
$$t=\frac{77+\sqrt{4289}}{40}\approx 3{,}56 \text{ ч},$$
$$x=8t\approx 28{,}5 \text{ км/ч}.$$
Переведём время в часы и минуты:
$$0{,}56\cdot 60\approx 34 \text{ мин}.$$
Значит, время движения плота до момента начала движения катера равно примерно $$3$$ ч $$34$$ мин.
Ответ
$$28{,}5$$ км/ч; $$3$$ ч $$34$$ мин.
