Упр.6.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а)

   $$S_n=\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+\cdots+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}.$$

   Проверим при $$n=1$$:

   $$ S_1=\frac{1^2}{1\cdot 3}=\frac13, \qquad \frac{1\cdot(1+1)}{2(2\cdot 1+1)}=\frac{2}{6}=\frac13. $$

   Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:

   $$ S_{n-1}=\frac{(n-1)n}{2(2n-1)}, \qquad S_n=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}. $$

   $$ \begin{aligned} S_n-S_{n-1} &=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}-\frac{(n-1)n}{2(2n-1)} \\ &=\frac{n\bigl((n+1)(2n-1)-(n-1)(2n+1)\bigr)}{2(2n-1)(2n+1)} \\ &=\frac{n\bigl(2n^2+n-1-(2n^2-n-1)\bigr)}{2(2n-1)(2n+1)} \\ &=\frac{n\cdot 2n}{2(2n-1)(2n+1)} =\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}. \end{aligned} $$

   Значит, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

2. б)

   $$S_n=\frac1{1\cdot 2\cdot 3}+\frac1{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\left(\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}\right).$$

   Проверим при $$n=1$$:

   $$ S_1=\frac1{1\cdot 2\cdot 3}=\frac16, \qquad \frac12\left(\frac12-\frac1{2\cdot 3}\right)=\frac12\left(\frac12-\frac16\right)=\frac16. $$

   Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:

   $$ S_{n-1}=\frac12\left(\frac12-\frac1{n(n+1)}\right), \qquad S_n=\frac12\left(\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}\right). $$

   $$ \begin{aligned} S_n-S_{n-1} &=\frac12\left(\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right) \\ &=\frac12\cdot \frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)} \\ &=\frac1{n(n+1)(n+2)}. \end{aligned} $$

   Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

3. в)

   $$S_n=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}+\frac{2\cdot 5}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+1)}{n+2}.$$

   Проверим при $$n=1$$:

   $$ S_1=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 3}=\frac23, \qquad \frac{1\cdot 2}{1+2}=\frac23. $$

   Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:

   $$ S_{n-1}=\frac{(n-1)n}{n+1}, \qquad S_n=\frac{n(n+1)}{n+2}. $$

   $$ \begin{aligned} S_n-S_{n-1} &=\frac{n(n+1)}{n+2}-\frac{(n-1)n}{n+1} \\ &=\frac{n\bigl((n+1)^2-(n-1)(n+2)\bigr)}{(n+1)(n+2)} \\ &=\frac{n\bigl(n^2+2n+1-(n^2+n-2)\bigr)}{(n+1)(n+2)} \\ &=\frac{n( n+3)}{(n+1)(n+2)}. \end{aligned} $$

   Значит, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

4. г)

   $$S_n=\frac1{1\cdot 3\cdot 5}+\frac2{3\cdot 5\cdot 7}+\cdots+\frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}.$$

   Проверим при $$n=1$$:

   $$ S_1=\frac1{1\cdot 3\cdot 5}=\frac1{15}, \qquad \frac{1\cdot 2}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac1{15}. $$

   Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:

   $$ S_{n-1}=\frac{(n-1)n}{2(2n-1)(2n+1)}, \qquad S_n=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}. $$

   $$ \begin{aligned} S_n-S_{n-1} &=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}-\frac{(n-1)n}{2(2n-1)(2n+1)} \\ &=\frac{n\bigl((n+1)(2n-1)(2n-1)?\bigr)}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} \end{aligned} $$

   $$ \begin{aligned} S_n-S_{n-1} &=\frac{n\bigl((n+1)(2n-1)-(n-1)(2n+3)\bigr)}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} \\ &=\frac{n(2n^2+n-1-(2n^2+n-3))}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} \\ &=\frac{2n}{2(2n-1)(2n+1)(2n+3)} \\ &=\frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}. \end{aligned} $$

   Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

а) $$S_n=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}$$;
б) $$S_n=\frac12\left(\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}\right)$$;
в) $$S_n=\frac{n(n+1)}{n+2}$$;
г) $$S_n=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}$$.