Упр.6.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Проверим формулу при $$n=1$$:
$$S_1=1\cdot 2^3=8,$$
что совпадает с правой частью:
$$1\cdot 2^{2\cdot 1+1}=2^3=8.$$
Пусть формула верна для $$n-1$$, то есть
$$S_{n-1}=(n-1)\cdot 2^{2n-1}.$$
Тогда
$$ S_n=S_{n-1}+(3n+1)2^{2n-1} = (n-1)2^{2n-1}+(3n+1)2^{2n-1} =4n\cdot 2^{2n-1} =n\cdot 2^{2n+1}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in \mathbb N$$.
Проверим формулу при $$n=1$$:
$$S_1=\frac12=2-\frac{1+2}{2^1}=2-\frac32=\frac12.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно
$$S_n=2-\frac{n+2}{2^n}.$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{2^{n+1}} =2-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}} =2-\frac{2n+4-(n+1)}{2^{n+1}} =2-\frac{n+3}{2^{n+1}}. $$
Значит, формула верна для всех $$n\in \mathbb N$$.
Проверим формулу при $$n=2$$:
$$S_2=1\cdot 2^2=4,$$
а правая часть даёт
$$\frac{2(2^2-1)(3\cdot 2+2)}{12}=\frac{2\cdot 3\cdot 8}{12}=4.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно
$$S_n=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}.$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+(n+1)n^2 =\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}+(n+1)n^2. $$
После преобразований получаем
$$ S_{n+1}=\frac{(n+1)\big((n+1)^2-1\big)\big(3(n+1)+2\big)}{12}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\ge 2$$.
Проверим формулу при $$n=1$$:
$$S_1=\frac13=\frac34\left(1-\frac{2\cdot 1+3}{3^{1+1}}\right)=\frac34\left(1-\frac59\right)=\frac13.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно
$$S_n=\frac34\left(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}}\right).$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+\frac{n+1}{3^{n+1}} =\frac34\left(1-\frac{2n+3}{3^{n+1}}\right)+\frac{n+1}{3^{n+1}} =\frac34\left(1-\frac{2n+5}{3^{n+2}}\right). $$
Значит, формула верна для всех $$n\in \mathbb N$$.
Ответ
а) верна для всех $$n\in\mathbb N$$; б) верна для всех $$n\in\mathbb N$$; в) верна для всех $$n\ge 2$$; г) верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
