Упр.6.7(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Докажем по индукции тождество

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$1^3=1,\qquad \frac{1^2\cdot 2^2}{4}=1.$$

Тождество верно.

2. Индукционный переход. Предположим, что для $$n=k$$ верно

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$ 1^3+2^3+\dots+k^3+(k+1)^3 =\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3. $$

Вынесем $$k+1$$ за скобки:

$$ \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 =(k+1)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right). $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ (k+1)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right) =(k+1)^2\cdot \frac{(k+2)^2}{4}. $$

Следовательно,

$$ 1^3+2^3+\dots+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}, $$

что и требовалось доказать.

б) Докажем по индукции тождество

$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$

1. База индукции. При $$n=1$$:

$$1^3=1,\qquad 1^2(2\cdot 1^2-1)=1.$$

Тождество верно.

2. Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ верно

$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2k-1)^3=k^2(2k^2-1).$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$ 1^3+3^3+\dots+(2k-1)^3+(2k+1)^3 = k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3. $$

Раскроем скобки:

$$ k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 =2k^4-k^2+8k^3+12k^2+6k+1. $$

С другой стороны,

$$ (k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr) =(k+1)^2(2k^2+4k+1). $$

После раскрытия скобок получаем

$$ (k+1)^2(2k^2+4k+1) =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1. $$

Значит,

$$ k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3=(k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr), $$

то есть тождество верно и для $$n=k+1$$.

Ответ

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4},$$

$$1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$