Упр.6.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Докажем по индукции формулу
$$S_n=1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=1\cdot(1+1)^2=4.$$
Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=k(k+1)^2.$$
Тогда
$$ S_{k+1}=S_k+(k+1)(3(k+1)+1) $$
$$ =k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) $$
$$ =(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) $$
$$ =(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2. $$
Значит, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
б) Докажем формулу
$$S_n=1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=1\cdot 2=2=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}.$$
Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$
Тогда
$$ S_{k+1}=S_k+(k+1)(k+2) $$
$$ =\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2) $$
$$ =(k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right) $$
$$ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
в) Докажем формулу
$$S_n=1\cdot 3+3\cdot 5+\dots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=1\cdot 3=3=\frac{1\cdot(4+6-1)}{3}.$$
Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=\frac{k(4k^2+6k-1)}{3}.$$
Тогда
$$ S_{k+1}=S_k+(2k+1)(2k+3) $$
$$ =\frac{k(4k^2+6k-1)}{3}+(2k+1)(2k+3) $$
$$ =\frac{k(4k^2+6k-1)+3(2k+1)(2k+3)}{3} $$
$$ =\frac{4k^3+18k^2+23k+9}{3} =\frac{(k+1)(4k^2+14k+9)}{3} $$
$$ =\frac{(k+1)\bigl(4(k+1)^2+6(k+1)-1\bigr)}{3}. $$
Значит, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.
г) Докажем формулу
$$S_n=2\cdot 5+5\cdot 8+8\cdot 11+\dots+(3n-1)(3n+2)=n(3n^2+6n+1).$$
При $$n=1$$:
$$S_1=2\cdot 5=10=1\cdot(3+6+1).$$
Пусть для $$n=k$$ формула верна:
$$S_k=k(3k^2+6k+1).$$
Тогда
$$ S_{k+1}=S_k+(3k+2)(3k+5) $$
$$ =k(3k^2+6k+1)+(3k+2)(3k+5) $$
$$ =3k^3+15k^2+22k+10 $$
$$ =(k+1)(3k^2+12k+10) = (k+1)\bigl(3(k+1)^2+6(k+1)+1\bigr). $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb N$$.