Упр.6.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Докажем по индукции, что

$$S_n=1^2+4^2+7^2+\dots+(3n-2)^2=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=1^2=1,$$

а по формуле

$$\frac{1\cdot(6\cdot1^2-3\cdot1-1)}{2}=\frac{6-3-1}{2}=\frac{2}{2}=1.$$

2) Предположим, что для некоторого $$n=k$$ формула верна:

$$S_k=\frac{k(6k^2-3k-1)}{2}.$$

Докажем её для $$n=k+1$$:

$$ S_{k+1}=S_k+(3(k+1)-2)^2=S_k+(3k+1)^2. $$

Тогда

$$ S_{k+1}=\frac{k(6k^2-3k-1)}{2}+(3k+1)^2 $$

$$ =\frac{6k^3-3k^2-k+18k^2+12k+2}{2} =\frac{6k^3+15k^2+11k+2}{2}. $$

С другой стороны,

$$ \frac{(k+1)\bigl(6(k+1)^2-3(k+1)-1\bigr)}{2} =\frac{(k+1)(6k^2+9k+2)}{2} =\frac{6k^3+15k^2+11k+2}{2}. $$

Следовательно, формула верна и для $$k+1$$. Значит, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

б) Докажем по индукции, что

$$S_n=1^2+3^2+5^2+\dots+(2n-1)^2=\frac{n(4n^2-1)}{3}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=1^2=1,$$

а по формуле

$$\frac{1\cdot(4\cdot1^2-1)}{3}=\frac{3}{3}=1.$$

2) Предположим, что для $$n=k$$ формула верна:

$$S_k=\frac{k(4k^2-1)}{3}.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=S_k+(2(k+1)-1)^2=S_k+(2k+1)^2. $$

Получаем

$$ S_{k+1}=\frac{k(4k^2-1)}{3}+(2k+1)^2 =\frac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3} =\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}. $$

С другой стороны,

$$ \frac{(k+1)\bigl(4(k+1)^2-1\bigr)}{3} =\frac{(k+1)(4k^2+8k+3)}{3} =\frac{4k^3+12k^2+11k+3}{3}. $$

Значит, формула верна для $$k+1$$, а следовательно, для всех $$n\in\mathbb N$$.

в) Докажем по индукции, что

$$S_n=3^2+7^2+10^2+\dots+(4n-1)^2=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}.$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=3^2=9,$$

а по формуле

$$\frac{1\cdot(16\cdot1^2+12\cdot1-1)}{3}=\frac{27}{3}=9.$$

2) Предположим, что для $$n=k$$ формула верна:

$$S_k=\frac{k(16k^2+12k-1)}{3}.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=S_k+(4(k+1)-1)^2=S_k+(4k+3)^2. $$

Имеем

$$ S_{k+1}=\frac{k(16k^2+12k-1)}{3}+(4k+3)^2 =\frac{16k^3+12k^2-k+48k^2+72k+27}{3} =\frac{16k^3+60k^2+71k+27}{3}. $$

С другой стороны,

$$ \frac{(k+1)\bigl(16(k+1)^2+12(k+1)-1\bigr)}{3} =\frac{(k+1)(16k^2+44k+27)}{3} =\frac{16k^3+60k^2+71k+27}{3}. $$

Следовательно, формула верна для $$k+1$$, а значит, и для всех $$n\in\mathbb N$$.

г) Докажем по индукции, что

$$S_n=1^3+3^3+5^3+\dots+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1).$$

1) При $$n=1$$:

$$S_1=1^3=1,$$

а по формуле

$$1^2(2\cdot1^2-1)=1.$$

2) Предположим, что для $$n=k$$ формула верна:

$$S_k=k^2(2k^2-1).$$

Тогда

$$ S_{k+1}=S_k+(2(k+1)-1)^3=S_k+(2k+1)^3. $$

Получаем

$$ S_{k+1}=k^2(2k^2-1)+(2k+1)^3 =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1. $$

С другой стороны,

$$ (k+1)^2\bigl(2(k+1)^2-1\bigr) =(k+1)^2(2k^2+4k+1) =2k^4+8k^3+11k^2+6k+1. $$

Значит, формула верна для $$k+1$$, а следовательно, для всех $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

а) $$S_n=\frac{n(6n^2-3n-1)}{2}$$; б) $$S_n=\frac{n(4n^2-1)}{3}$$; в) $$S_n=\frac{n(16n^2+12n-1)}{3}$$; г) $$S_n=n^2(2n^2-1)$$.