Упр.6.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) Рассмотрим сумму
$$S_n=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}.$$
Проверим формулу при $$n=1$$:
$$S_1=2^1-1=2-1=1.$$
Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:
$$S_{n-1}=2^{n-1}-1,$$
тогда
$$ S_n=2^n-1=2\cdot 2^{n-1}-1=(2^{n-1}-1)+2^{n-1}=S_{n-1}+2^{n-1}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.
б) Рассмотрим сумму
$$S_n=1+\frac13+\frac19+\dots+\frac1{3^{n-1}}.$$
Проверим формулу при $$n=1$$:
$$S_1=1{,}5-\frac{1{,}5}{3^1}=1{,}5-0{,}5=1.$$
Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:
$$S_{n-1}=1{,}5-\frac{1{,}5}{3^{n-1}}=1{,}5-\frac{4{,}5}{3^n},$$
тогда
$$ S_n=1{,}5-\frac{1{,}5}{3^n} =1{,}5-\frac{4{,}5}{3^n}+\frac{3}{3^n} =S_{n-1}+\frac1{3^{n-1}}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.
в) Рассмотрим сумму
$$S_n=3-9+27-81+\dots+(-3)^n.$$
Проверим формулу при $$n=1$$:
$$S_1=\frac34\bigl(1-(-3)^1\bigr)=\frac34(1+3)=3.$$
Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:
$$S_{n-1}=\frac34\bigl(1-(-3)^{n-1}\bigr),$$
тогда
$$ S_n=\frac34\bigl(1-(-3)^n\bigr) =\frac34-\frac34(-3)^n =\frac34+\frac94(-3)^{n-1} =S_{n-1}+(-3)^n. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.
г) Рассмотрим сумму
$$S_n=1+0{,}1+0{,}01+\dots+0{,}\underbrace{00\dots 01}_{n-1}.$$
Это геометрическая прогрессия с первым членом $$1$$ и знаменателем $$0{,}1$$, поэтому
$$ S_n=\frac{1-0{,}1^n}{1-0{,}1}=\frac{10-10\cdot 0{,}1^n}{9}=\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9}. $$
Проверим при $$n=1$$:
$$S_1=\frac{10-0{,}1^{\,0}}{9}=\frac{9}{9}=1.$$
Докажем переход от $$n-1$$ к $$n$$:
$$S_{n-1}=\frac{10-0{,}1^{\,n-2}}{9},$$
тогда
$$ S_n=\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9} =\frac{10-0{,}1^{\,n-2}}{9}+\frac{0{,}1^{\,n-2}-0{,}1^{\,n-1}}{9} =S_{n-1}+0{,}1^{\,n-1}. $$
Следовательно, формула верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.
Ответ
а) $$S_n=1+2+4+8+\dots+2^{n-1}=2^n-1$$;
б) $$S_n=1+\frac13+\frac19+\dots+\frac1{3^{n-1}}=1{,}5-\frac{1{,}5}{3^n}$$;
в) $$S_n=3-9+27-81+\dots+(-3)^n=\frac34\bigl(1-(-3)^n\bigr)$$;
г) $$S_n=1+0{,}1+0{,}01+\dots+0{,}\underbrace{00\dots 01}_{n-1}=\frac{10-0{,}1^{\,n-1}}{9}$$.
