Упр.6.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Докажем по индукции формулу
$$S_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно:
$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. $$
Значит, формула верна для $$n+1$$, следовательно, верна для всех $$n\in\mathbb{N}$$.
б) Докажем формулу
$$S_n=1+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1\cdot(3\cdot1-1)}{2}=\frac{2}{2}=1.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно:
$$S_n=\frac{n(3n-1)}{2}.$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+(3n+1)=\frac{n(3n-1)}{2}+(3n+1) =\frac{3n^2+5n+2}{2} =\frac{(n+1)(3n+2)}{2}. $$
Но
$$\frac{(n+1)(3n+2)}{2}=\frac{(n+1)(3(n+1)-1)}{2},$$
значит, формула верна для $$n+1$$.
в) Докажем формулу
$$S_n=5+6+7+\dots+(n+4)=\frac{n(n+9)}{2}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1(1+9)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно:
$$S_n=\frac{n(n+9)}{2}.$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+(n+5)=\frac{n(n+9)}{2}+(n+5) =\frac{n^2+11n+10}{2} =\frac{(n+1)(n+10)}{2}. $$
А это и есть
$$\frac{(n+1)\big((n+1)+9\big)}{2}.$$
г) Докажем формулу
$$S_n=1{,}6+3{,}1+4{,}6+\dots+(1{,}5n+0{,}1)=\frac{n(3n+3{,}4)}{4}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=\frac{1(3\cdot1+3{,}4)}{4}=\frac{6{,}4}{4}=1{,}6.$$
Пусть для некоторого $$n$$ верно:
$$S_n=\frac{n(3n+3{,}4)}{4}.$$
Тогда
$$ S_{n+1}=S_n+(1{,}5n+1{,}6) =\frac{n(3n+3{,}4)}{4}+\frac{6n+6{,}4}{4} =\frac{3n^2+9{,}4n+6{,}4}{4}. $$
С другой стороны,
$$ \frac{(n+1)\big(3(n+1)+3{,}4\big)}{4} =\frac{(n+1)(3n+6{,}4)}{4} =\frac{3n^2+9{,}4n+6{,}4}{4}. $$
Следовательно, формула верна и для $$n+1$$.