Упр.6.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$S_n=1-2+3-4+5-6+\dots+n(-1)^{n+1}$$

   Если $$n=2k-1$$, то

   $$ S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(n-1+n)= $$
   $$ =-1-1-1-\dots-1=-\frac{n-1}{2}=-\frac{2k-2}{2}=1-k. $$

   Если $$n=2k$$, то

   $$ S_n=(1-2)+(3-4)+\dots+(n-1-n)= $$
   $$ =-1-1-\dots-1=-\frac{n}{2}=-k. $$

   Значит,
   $$ S_n= \begin{cases} 1-k, & \text{если } n=2k-1,\\ -k, & \text{если } n=2k. \end{cases} $$

2. б) $$S_n=-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+\dots+(-1)^n n^2$$

   Если $$n=2k-1$$, то

   $$ S_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\dots+(n^2-(n-1)^2)-n^2 $$
   $$ =(1+2)+(3+4)+\dots+(n-1+n)-n^2 $$
   $$ =\frac{n(n+1)}{2}-n^2=\frac{n-n^2}{2}. $$
   Подставляя $$n=2k-1$$, получаем
   $$ S_n=k(1-2k). $$

   Если $$n=2k$$, то

   $$ S_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+\dots+(n^2-(n-1)^2) $$
   $$ =1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}. $$
   Подставляя $$n=2k$$, получаем
   $$ S_n=k(2k+1). $$

   Значит,
   $$ S_n= \begin{cases} k(1-2k), & \text{если } n=2k-1,\\ k(2k+1), & \text{если } n=2k. \end{cases} $$

3. в) $$S_n=0+3+2+5+4+7+6+\dots+\bigl(n+(-1)^n\bigr)$$

   Если $$n=2k-1$$, то

   $$ S_n=(0+2)+(3+4)+(5+6)+\dots+\bigl((n-1)+n\bigr)-1 $$
   $$ =2+7+11+\dots+\bigl((n-1)+n\bigr)-1 $$
   $$ =1+2+3+\dots+n-1=\frac{n(n+1)}{2}-1. $$

   Если $$n=2k$$, то

   $$ S_n=0+2+3+4+5+6+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}. $$

   Значит,
   $$ S_n= \begin{cases} \dfrac{n(n+1)}{2}-1, & \text{если } n=2k-1,\\[6pt] \dfrac{n(n+1)}{2}, & \text{если } n=2k. \end{cases} $$

4. г) $$S_n=2-6+12-20+\dots+(-1)^{n+1}(n^2+n)$$

   Если $$n=2k-1$$, то

   $$ S_n=(2-6)+(12-20)+\dots+\bigl((n^2-n)-(n^2+n)\bigr)+(n^2+n) $$
   $$ =-4-8-12-\dots-(2n-2)+(n^2+n) $$
   $$ =-\bigl(4+8+12+\dots+(2n-2)\bigr)+(n^2+n) $$
   $$ =-\frac{(n-1)n}{2}+(n^2+n)=\frac{n^2+3n}{2}. $$
   Подставляя $$n=2k-1$$, получаем
   $$ S_n=2k^2. $$

   Если $$n=2k$$, то

   $$ S_n=(2-6)+(12-20)+\dots+\bigl(-(n^2+n)+(n^2-n)\bigr) $$
   $$ =-4-8-12-\dots-2n $$
   $$ =-\bigl(4+8+12+\dots+2n\bigr) =-\frac{(4+2n)n}{2}. $$
   Подставляя $$n=2k$$, получаем
   $$ S_n=-2k(k+1). $$

   Значит,
   $$ S_n= \begin{cases} 2k^2, & \text{если } n=2k-1,\\ -2k(k+1), & \text{если } n=2k. \end{cases} $$

Ответ

а) $$S_n=\begin{cases}1-k,& n=2k-1,\\-k,& n=2k;\end{cases}$$
б) $$S_n=\begin{cases}k(1-2k),& n=2k-1,\\k(2k+1),& n=2k;\end{cases}$$
в) $$S_n=\begin{cases}\dfrac{n(n+1)}{2}-1,& n=2k-1,\\[6pt]\dfrac{n(n+1)}{2},& n=2k;\end{cases}$$
г) $$S_n=\begin{cases}2k^2,& n=2k-1,\\-2k(k+1),& n=2k.\end{cases}$$