Упр.6.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите методом математической индукции, что у выпуклого n-угольника (n > 3 : а) сумма внутренних углов равна 180°(n — 2);

Подробный ответ

а) Докажем по индукции, что сумма внутренних углов выпуклого $$n$$-угольника равна $$S_n=180^\circ(n-2), \quad n\ge 3.$$

База индукции: при $$n=3$$ имеем треугольник, и

$$S_3=180^\circ=180^\circ(3-2).$$

Переход: пусть для некоторого $$n=k$$ формула верна, то есть

$$S_k=180^\circ(k-2).$$

Рассмотрим выпуклый $$\left(k+1\right)$$-угольник. Его можно получить из $$k$$-угольника, добавив одну вершину и тем самым разбив одну сторону на две. При этом к фигуре добавляется один треугольник, значит

$$S_{k+1}=S_k+180^\circ.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=180^\circ(k-2)+180^\circ=180^\circ(k-1)=180^\circ\bigl((k+1)-2\bigr). $$

Следовательно, формула верна для любого $$n\ge 3$$.

б) Докажем по индукции, что число диагоналей выпуклого $$n$$-угольника равно

$$D_n=\frac{n(n-3)}{2}, \quad n\ge 3.$$

База индукции: при $$n=3$$ получаем

$$D_3=\frac{3(3-3)}{2}=0.$$

Переход: пусть для $$n=k$$ формула верна:

$$D_k=\frac{k(k-3)}{2}.$$

При переходе от $$k$$-угольника к $$\left(k+1\right)$$-угольнику добавленная вершина соединяется диагоналями со всеми вершинами, кроме двух соседних, то есть добавляется $$k-2$$ диагонали. Поэтому

$$D_{k+1}=D_k+(k-2).$$

Подставим предположение индукции:

$$ D_{k+1}=\frac{k(k-3)}{2}+(k-2) =\frac{k(k-3)+2k-4}{2} =\frac{k^2-k-4}{2}. $$

С другой стороны,

$$ \frac{(k+1)\bigl((k+1)-3\bigr)}{2} =\frac{(k+1)(k-2)}{2} =\frac{k^2-k-2}{2}. $$

Значит, при таком переходе получаем именно формулу

$$D_{k+1}=\frac{(k+1)\bigl((k+1)-3\bigr)}{2}.$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\ge 3$$.