Упр.6.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что любое натуральное число h > 4 можно представить в виде h=3m + 5n, где m и n — целые числа.

Докажем утверждение методом математической индукции.

1) При $$h=5$$ представление существует:

$$5=3\cdot 0+5\cdot 1.$$

2) Предположим, что для некоторого натурального числа $$h_k>4$$ верно

$$h_k=3m_k+5n_k,$$

где $$m_k$$ и $$n_k$$ — целые числа.

3) Докажем, что тогда и для следующего числа $$h_{k+1}=h_k+1$$ такое представление существует:

$$ h_{k+1}=h_k+1=(3m_k+5n_k)+1=3m_k+5n_k+1. $$

Преобразуем:

$$ 3m_k+5n_k+1=3m_k+6+5n_k-5=3(m_k+2)+5(n_k-1). $$

Обозначим

$$m_{k+1}=m_k+2,\qquad n_{k+1}=n_k-1.$$

Так как сумма и разность целых чисел снова являются целыми числами, то $$m_{k+1}$$ и $$n_{k+1}$$ — целые.

Следовательно, если число $$h_k$$ представимо в виде $$3m+5n$$, то и число $$h_k+1$$ тоже представимо в таком виде.

Поскольку утверждение верно для $$h=5$$ и переходит от числа $$h$$ к числу $$h+1$$, оно верно для всех натуральных чисел $$h>4$$.

Ответ

Любое натуральное число $$h>4$$ можно представить в виде $$h=3m+5n$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.