Упр.6.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Обозначим через $$C_n^2$$ число сочетаний из $$n$$ предметов по два. Тогда при добавлении нового предмета он образует по одному сочетанию с каждым из уже имеющихся $$n-1$$ предметов, поэтому

$$C_n^2=C_{n-1}^2+(n-1).$$

Проверим формулу при $$n=2$$:

$$C_2^2=\frac{2\cdot(2-1)}{2}=1.$$

Теперь докажем переход:

$$ C_{n-1}^2+(n-1)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}+(n-1) =\frac{(n-1)(n-2)+2(n-1)}{2} =\frac{(n-1)n}{2}. $$

Значит,

$$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, \quad n\ge 2.$$

б) Обозначим через $$C_n^3$$ число сочетаний из $$n$$ предметов по три. Тогда новый предмет образует сочетания с каждой парой из остальных $$n-1$$ предметов, а число таких пар равно $$C_{n-1}^2$$. Поэтому

$$C_n^3=C_{n-1}^3+C_{n-1}^2=C_{n-1}^3+\frac{(n-1)(n-2)}{2}.$$

Проверим формулу при $$n=3$$:

$$C_3^3=\frac{3\cdot2\cdot1}{6}=1.$$

Докажем переход:

$$ C_{n-1}^3+\frac{(n-1)(n-2)}{2} =\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+\frac{3(n-1)(n-2)}{6} $$

$$ =\frac{(n-1)(n-2)\bigl((n-3)+3\bigr)}{6} =\frac{n(n-1)(n-2)}{6}. $$

Следовательно,

$$C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad n\ge 3.$$