Упр.6.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выведите формулу n-го члена последовательности (аn , за данной рекуррентным соотношением:

а) Докажем по индукции, что при $$a_1=0$$ и $$a_{n+1}=a_n+n$$ выполняется формула

$$a_n=\frac{(n-1)n}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1}{2}=0.$$

2) Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$a_k=\frac{(k-1)k}{2}.$$

Тогда

$$ a_{k+1}=a_k+k=\frac{(k-1)k}{2}+k=\frac{k^2-k+2k}{2}=\frac{k(k+1)}{2}. $$

Это и есть формула при $$n=k+1$$, значит, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

б) Докажем, что при $$a_1=0$$ и $$a_{n+1}=a_n+n^2$$

$$a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$$

1) При $$n=1$$:

$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)}{6}=0.$$

2) Пусть для $$n=k$$ верно

$$a_k=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}.$$

Тогда

$$ a_{k+1}=a_k+k^2=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}+k^2. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ a_{k+1}=\frac{(k-1)k(2k-1)+6k^2}{6} =\frac{2k^3-3k^2+k+6k^2}{6} =\frac{2k^3+3k^2+k}{6}. $$

Вынесем $$k$$:

$$ a_{k+1}=\frac{k(2k^2+3k+1)}{6} =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. $$

Это и есть формула при $$n=k+1$$, значит, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

в) Проверим формулу при $$a_1=-13$$ и $$a_{n+1}=a_n+3n$$:

$$a_n=\frac{(3n-29)n}{2}.$$

1) При $$n=1$$:

$$a_1=\frac{(3\cdot 1-29)\cdot 1}{2}=\frac{-26}{2}=-13.$$

2) Однако для перехода к следующему члену получаем

$$ a_{n+1}=a_n+3n=\frac{(3n-29)n}{2}+3n =\frac{3n^2-29n+6n}{2} =\frac{3n^2-23n}{2}. $$

А по предложенной формуле

$$ a_{n+1}=\frac{(3(n+1)-29)(n+1)}{2} =\frac{(3n-26)(n+1)}{2}, $$

что не совпадает с выражением выше. Значит, данная формула не подходит для всех $$n$$.

Следовательно, в условии допущена ошибка: рекуррентное соотношение и формула задают разные последовательности.

г) Докажем, что при $$a_1=0$$ и $$a_{n+1}=a_n+n^3$$

$$a_n=\frac{(n-1)^2n^2}{4}.$$

1) При $$n=1$$:

$$a_1=\frac{(1-1)^2\cdot 1^2}{4}=0.$$

2) Пусть для $$n=k$$ верно

$$a_k=\frac{(k-1)^2k^2}{4}.$$

Тогда

$$ a_{k+1}=a_k+k^3=\frac{(k-1)^2k^2}{4}+k^3. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ a_{k+1}=\frac{k^2(k-1)^2+4k^3}{4} =\frac{k^4-2k^3+k^2+4k^3}{4} =\frac{k^4+2k^3+k^2}{4}. $$

Вынесем общий множитель:

$$ a_{k+1}=\frac{k^2(k+1)^2}{4} =\frac{((k+1)-1)^2(k+1)^2}{4}. $$

Это и есть формула при $$n=k+1$$, значит, она верна для всех $$n\in\mathbb N$$.

Ответ

а) $$a_n=\frac{(n-1)n}{2}$$;
б) $$a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$$;
в) формула неверна для данной рекуррентной последовательности;
г) $$a_n=\frac{(n-1)^2n^2}{4}$$.