Упр.6.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (6^n + 20n + 24) : 25; б) (7^n + 12n + 17) : 18.
а) Докажем, что выражение $$6^n+20n+24$$ делится на $$25$$ при любом натуральном $$n$$.
Проверим при $$n=1$$:
$$6^1+20\cdot 1+24=6+20+24=50,$$
а $$50$$ делится на $$25$$.
Предположим, что при некотором $$n=k$$ число $$6^k+20k+24$$ делится на $$25$$. Тогда
$$ 6^{k+1}+20(k+1)+24 =6\cdot 6^k+20k+44 =6(6^k+20k+24)-100k-100. $$
Так как $$6^k+20k+24$$ делится на $$25$$, то и число $$6(6^k+20k+24)$$ делится на $$25$$. Кроме того, $$100k+100$$ тоже делится на $$25$$. Значит, $$6^{k+1}+20(k+1)+24$$ делится на $$25$$.
Следовательно, $$6^n+20n+24$$ делится на $$25$$ при любом натуральном $$n$$.
б) Докажем, что выражение $$7^n+12n+17$$ делится на $$18$$ при любом натуральном $$n$$.
Проверим при $$n=1$$:
$$7^1+12\cdot 1+17=7+12+17=36,$$
а $$36$$ делится на $$18$$.
Предположим, что при некотором $$n=k$$ число $$7^k+12k+17$$ делится на $$18$$. Тогда
$$ 7^{k+1}+12(k+1)+17 =7\cdot 7^k+12k+29 =7(7^k+12k+17)-72k-90. $$
Так как $$7^k+12k+17$$ делится на $$18$$, то и число $$7(7^k+12k+17)$$ делится на $$18$$. Кроме того, $$72k+90$$ делится на $$18$$. Значит, $$7^{k+1}+12(k+1)+17$$ делится на $$18$$.
Следовательно, $$7^n+12n+17$$ делится на $$18$$ при любом натуральном $$n$$.
Ответ
а) $$6^n+20n+24$$ делится на $$25$$ при любом натуральном $$n$$; б) $$7^n+12n+17$$ делится на $$18$$ при любом натуральном $$n$$.
