Упр.6.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Докажем делимость числа $$6^{2n}+3^{n+2}+3^n$$ на $$11$$.

   При $$n=1$$:

   $$6^{2\cdot 1}+3^{1+2}+3^1=36+27+3=66,$$

   значит, число делится на $$11$$.

   Пусть при некотором $$n=k$$ выражение делится на $$11$$, то есть

   $$6^{2k}+3^{k+2}+3^k \equiv 0 \pmod{11}.$$

   Рассмотрим $$n=k+1$$:

   $$ 6^{2(k+1)}+3^{(k+1)+2}+3^{k+1} =36\cdot 6^{2k}+3\cdot 3^{k+2}+3\cdot 3^k $$

   $$ =-8\cdot 6^{2k}+44\cdot 6^{2k}+3\cdot 3^{k+2}+3\cdot 3^k $$

   $$ =-8\bigl(6^{2k}+3^{k+2}+3^k\bigr)+44\cdot 6^{2k}+11\cdot 3^{k+2}+11\cdot 3^k. $$

   Все слагаемые делятся на $$11$$, значит, и выражение при $$n=k+1$$ делится на $$11$$.

2. б) Докажем делимость числа $$5^{2n+1}+3^{n+2}\cdot 2^{\,n-1}$$ на $$19$$.

   При $$n=1$$:

   $$5^{2\cdot 1+1}+3^{1+2}\cdot 2^{1-1}=5^3+3^3\cdot 2^0=125+27=152,$$

   значит, число делится на $$19$$.

   Пусть при $$n=k$$ выражение делится на $$19$$:

   $$5^{2k+1}+3^{k+2}\cdot 2^{k-1}\equiv 0 \pmod{19}.$$

   Тогда при $$n=k+1$$:

   $$ 5^{2(k+1)+1}+3^{(k+1)+2}\cdot 2^{(k+1)-1} =25\cdot 5^{2k+1}+6\cdot 3^{k+2}\cdot 2^{k-1} $$

   $$ =-13\bigl(5^{2k+1}+3^{k+2}\cdot 2^{k-1}\bigr) +\bigl(38\cdot 5^{2k+1}+19\cdot 3^{k+2}\cdot 2^{k-1}\bigr). $$

   Следовательно, выражение при $$n=k+1$$ также делится на $$19$$.

3. в) Докажем делимость числа $$5^{2+n}+26\cdot 5^n+8^{2n+1}$$ на $$59$$.

   При $$n=1$$:

   $$5^{2+1}+26\cdot 5^1+8^{2\cdot 1+1}=125+130+512=767,$$

   значит, число делится на $$59$$.

   Пусть при $$n=k$$ выражение делится на $$59$$:

   $$5^{k+2}+26\cdot 5^k+8^{2k+1}\equiv 0 \pmod{59}.$$

   Тогда при $$n=k+1$$:

   $$ 5^{k+3}+26\cdot 5^{k+1}+8^{2k+3} =5\cdot 5^{k+2}+130\cdot 5^k+64\cdot 8^{2k+1} $$

   $$ =-54\bigl(5^{k+2}+26\cdot 5^k+8^{2k+1}\bigr) +\bigl(5^{k+2}+1534\cdot 5^k+118\cdot 8^{2k+1}\bigr). $$

   Значит, и это выражение делится на $$59$$.

4. г) Докажем делимость числа $$5^{n+3}\cdot 2^n-125$$ на $$45$$.

   При $$n=1$$:

   $$5^{1+3}\cdot 2^1-125=5^4\cdot 2-125=625\cdot 2-125=1125,$$

   а $$1125$$ делится на $$45$$.

   Пусть при $$n=k$$ выражение делится на $$45$$:

   $$5^{k+3}\cdot 2^k-125\equiv 0 \pmod{45}.$$

   Тогда при $$n=k+1$$:

   $$ 5^{k+4}\cdot 2^{k+1}-125 =10\cdot 5^{k+3}\cdot 2^k-125 $$

   $$ =10\bigl(5^{k+3}\cdot 2^k-125\bigr)+1125. $$

   Оба слагаемых делятся на $$45$$, значит, и всё выражение делится на $$45$$.

Ответ

Во всех пунктах делимость доказана.