Упр.6.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) $$a_n=\frac{11^{6n+3}+1}{148}$$

   Проверим при $$n=1$$:

   $$a_1=\frac{11^9+1}{148}=\frac{2357947692}{148}\in N.$$

   Докажем, что при переходе от $$n$$ к $$n+1$$ выражение остаётся натуральным:

   $$ \frac{11^{6(n+1)+3}+1}{148} =\frac{11^{6n+9}+1}{148} =\frac{11^6\cdot 11^{6n+3}+1}{148} $$
   $$ =\frac{11^{6n+3}+1}{148}+\frac{11^6-1}{148}\cdot 11^{6n+3} =\frac{a_n}{148}+11970\cdot 11^{6n+3}\in N. $$

2. б) $$a_n=\frac{7^{2n}-4^{2n}}{33}$$

   При $$n=1$$:

   $$a_1=\frac{7^2-4^2}{33}=\frac{49-16}{33}=1\in Z.$$

   Переход:

   $$ \frac{7^{2(n+1)}-4^{2(n+1)}}{33} =\frac{7^{2n+2}-4^{2n+2}}{33} =\frac{49\cdot 7^{2n}-16\cdot 4^{2n}}{33} $$
   $$ =\frac{33(7^{2n}-4^{2n})-17(7^{2n}-4^{2n})}{33} =a_n-17\cdot \frac{7^{2n}-4^{2n}}{33}\in Z. $$

3. в) $$a_n=\frac{13^{4n+2}+1}{85}$$

   При $$n=1$$:

   $$a_1=\frac{13^6+1}{85}=\frac{4826810}{85}\in N.$$

   Переход:

   $$ \frac{13^{4(n+1)+2}+1}{85} =\frac{13^{4n+6}+1}{85} =\frac{13^4\cdot 13^{4n+2}+1}{85} $$
   $$ =\frac{13^{4n+2}+1}{85}+\frac{13^4-1}{85}\cdot 13^{4n+2} =\frac{a_n}{85}+336\cdot 13^{4n+2}\in N. $$

4. г) $$a_n=\frac{5^{n+3}+11^{3n+1}}{17}$$

   При $$n=1$$:

   $$a_1=\frac{5^4+11^4}{17}=\frac{625+14641}{17}=\frac{15266}{17}=898\in N.$$

   Переход:

   $$ \frac{5^{(n+1)+3}+11^{3(n+1)+1}}{17} =\frac{5^{n+4}+11^{3n+4}}{17} =\frac{5\cdot 5^{n+3}+1331\cdot 11^{3n+1}}{17} $$
   $$ =\frac{5^{n+3}+11^{3n+1}}{17} +\frac{4\cdot 5^{n+3}+1330\cdot 11^{3n+1}}{17} =a_n+ \frac{4\cdot 5^{n+3}+1330\cdot 11^{3n+1}}{17}\in Z. $$

Ответ

а) $$a_n\in N$$; б) $$a_n\in Z$$; в) $$a_n\in N$$; г) $$a_n\in Z$$.