Упр.6.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
а) $$a_n=\frac{7^n-1}{6}$$
Проверим при $$n=1$$:
$$a_1=\frac{7^1-1}{6}=\frac{7-1}{6}=\frac{6}{6}=1,$$
то есть число целое.
Докажем, что при переходе от $$n$$ к $$n+1$$ выражение тоже остаётся целым:
$$ a_{n+1}=\frac{7^{n+1}-1}{6} =\frac{7\cdot 7^n-1}{6} =\frac{7^n-1}{6}+\frac{6\cdot 7^n}{6} =a_n+7^n. $$
Так как $$a_n \in \mathbb{N}$$ и $$7^n \in \mathbb{N},$$ то $$a_{n+1}\in \mathbb{N}.$$ Следовательно, $$7^n-1$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
б) $$a_n=\frac{2^{2n+1}+1}{3}$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{2^{2\cdot 1+1}+1}{3}=\frac{2^3+1}{3}=\frac{8+1}{3}=\frac{9}{3}=3,$$
то есть число целое.
Переход к следующему члену:
$$ a_{n+1}=\frac{2^{2(n+1)+1}+1}{3} =\frac{2^{2n+3}+1}{3} =\frac{4\cdot 2^{2n+1}+1}{3} =\frac{(2^{2n+1}+1)+3\cdot 2^{2n+1}}{3} =a_n+2^{2n+1}. $$
Значит, $$a_{n+1}\in \mathbb{N}$$ при любом натуральном $$n$$, поэтому $$2^{2n+1}+1$$ делится на $$3$$.
в) $$a_n=\frac{17^n-1}{16}$$
При $$n=1$$:
$$a_1=\frac{17^1-1}{16}=\frac{17-1}{16}=\frac{16}{16}=1.$$
Переход:
$$ a_{n+1}=\frac{17^{n+1}-1}{16} =\frac{17\cdot 17^n-1}{16} =\frac{17^n-1}{16}+\frac{16\cdot 17^n}{16} =a_n+17^n. $$
Следовательно, $$a_{n+1}\in \mathbb{N}$$, значит $$17^n-1$$ делится на $$16$$ при любом натуральном $$n$$.
г) $$a_n=\frac{13^{2n+1}+1}{14}$$
При $$n=1$$:
$$ a_1=\frac{13^{2\cdot 1+1}+1}{14} =\frac{13^3+1}{14} =\frac{2197+1}{14} =\frac{2198}{14}=157. $$
Переход:
$$ a_{n+1}=\frac{13^{2(n+1)+1}+1}{14} =\frac{13^{2n+3}+1}{14} =\frac{13^2\cdot 13^{2n+1}+1}{14} =\frac{169\cdot 13^{2n+1}+1}{14}. $$
Представим так:
$$ 169\cdot 13^{2n+1}+1 =\bigl(13^{2n+1}+1\bigr)+168\cdot 13^{2n+1}. $$
Тогда
$$ a_{n+1} =\frac{13^{2n+1}+1}{14}+12\cdot 13^{2n+1} =a_n+12\cdot 13^{2n+1}. $$
Значит, $$a_{n+1}\in \mathbb{N}$$, следовательно, $$13^{2n+1}+1$$ делится на $$14$$ при любом натуральном $$n$$.
Ответ
Во всех пунктах выражения делятся на указанные числа при любом натуральном $$n$$.
