Упр.6.18(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли* (1 + a n > 1 + n • а при а > -1.

Докажем по индукции, что при $$a>-1$$ и натуральном $$n$$ выполняется неравенство Бернулли:

$$\left(1+a\right)^n \ge 1+na.$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем

$$\left(1+a\right)^1=1+a=1+1\cdot a,$$

то есть неравенство верно.

2. Индукционное предположение. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$\left(1+a\right)^k \ge 1+ka.$$

3. Индукционный переход. Докажем, что тогда

$$\left(1+a\right)^{k+1} \ge 1+(k+1)a.$$

Действительно, умножим обе части индукционного предположения на $$1+a$$. Так как $$a>-1$$, то $$1+a>0$$, и знак неравенства не меняется:

$$\left(1+a\right)^{k+1} \ge (1+ka)(1+a).$$

Раскроем скобки:

$$ (1+ka)(1+a)=1+(k+1)a+ka^2. $$

Так как $$ka^2 \ge 0$$, то

$$1+(k+1)a+ka^2 \ge 1+(k+1)a.$$

Следовательно,

$$\left(1+a\right)^{k+1} \ge 1+(k+1)a.$$

Тем самым неравенство верно для $$k+1$$. По принципу математической индукции оно верно для всех натуральных $$n$$.

Ответ

$$\left(1+a\right)^n \ge 1+na \quad \text{при } a>-1,\ n\in \mathbb{N}.$$