Упр.6.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение: 6.21. а) (n3 + 35n) : 6; в) (n5 — n) : 30; б) (n3 + 3n2 + 8n) : 3; г) (2n3 + 3n2 + 7n) : 6.

Подробный ответ

а) Докажем, что $$n^3+35n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
При $$n=1$$:
$$1^3+35\cdot 1=36,$$
значит, выражение делится на $$6$$.
Пусть для некоторого $$n$$ число $$n^3+35n$$ делится на $$6$$. Тогда
$$ (n+1)^3+35(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+35n+35 $$
$$ =(n^3+35n)+3n^2+3n+36. $$
Первое слагаемое делится на $$6$$ по предположению, а
$$ 3n^2+3n+36=3(n^2+n+12)=3\bigl(n(n+1)+12\bigr) $$
делится на $$6$$, так как произведение $$n(n+1)$$ чётно. Следовательно, $$ (n+1)^3+35(n+1) $$ тоже делится на $$6$$.
б) Докажем, что $$n^3+3n^2+8n$$ делится на $$3$$ при любом натуральном $$n$$.
При $$n=1$$:
$$1^3+3\cdot 1^2+8\cdot 1=12,$$
значит, выражение делится на $$3$$.
Пусть для некоторого $$n$$ число $$n^3+3n^2+8n$$ делится на $$3$$. Тогда
$$ (n+1)^3+3(n+1)^2+8(n+1) $$
$$ =n^3+3n^2+3n+1+3n^2+6n+3+8n+8 $$
$$ =(n^3+3n^2+8n)+3n^2+17n+12. $$
Так как
$$ 3n^2+17n+12=3n^2+15n+12+2n=3(n^2+5n+4)+2n, $$
удобнее сразу заметить, что
$$ (n+1)^3+3(n+1)^2+8(n+1)=n^3+3n^2+8n+3(n^2+3n+4), $$
а число $$3(n^2+3n+4)$$ делится на $$3$$. Значит, и всё выражение делится на $$3$$.
в) Докажем, что $$n^5-n$$ делится на $$30$$ при любом натуральном $$n$$.
Разложим:
$$ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1). $$
Среди трёх последовательных чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.
Кроме того, среди чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$5$$ или само число $$n$$ делится на $$5$$, поэтому произведение $$n^5-n$$ делится на $$5$$.
Следовательно, $$n^5-n$$ делится на $$\operatorname{lcm}(6,5)=30$$.
г) Докажем, что $$2n^3+3n^2+7n$$ делится на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.
При $$n=1$$:
$$2\cdot 1^3+3\cdot 1^2+7\cdot 1=12,$$
значит, выражение делится на $$6$$.
Пусть для некоторого $$n$$ число $$2n^3+3n^2+7n$$ делится на $$6$$. Тогда
$$ 2(n+1)^3+3(n+1)^2+7(n+1) $$
$$ =2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+3+7n+7 $$
$$ =2n^3+9n^2+19n+12 $$
$$ =(2n^3+3n^2+7n)+6n^2+12n+12. $$
Первое слагаемое делится на $$6$$ по предположению, а
$$ 6n^2+12n+12=6(n^2+2n+2) $$
тоже делится на $$6$$. Значит, и выражение при $$n+1$$ делится на $$6$$.