Упр.6.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. Докажем неравенство

   $$S_n=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}-1.$$

   При $$n=1$$ имеем:

   $$S_1=\frac{1}{\sqrt2}>\sqrt2-1.$$

   Предположим, что для некоторого $$n=k$$ неравенство верно:

   $$S_k=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}-1.$$

   Тогда

   $$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{\sqrt{k+2}}>\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+2}}.$$

   Осталось показать, что

   $$\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+2}}>\sqrt{k+2}-1.$$

   Рассмотрим разность:

   $$\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+2}}-(\sqrt{k+2}-1)=\sqrt{k+1}+\frac{1}{\sqrt{k+2}}-\sqrt{k+2}.$$

   Приведём к общему виду:

   $$\sqrt{k+1}+\frac{1}{\sqrt{k+2}}-\sqrt{k+2}=\frac{\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}+1-(k+2)}{\sqrt{k+2}}.$$

   Так как

   $$\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}+1-(k+2)=\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}-(k+1)>0,$$

   то разность положительна. Значит,

   $$S_{k+1}>\sqrt{k+2}-1.$$

   Следовательно, неравенство верно для любого натурального $$n$$.

2. Докажем неравенство

   $$S_n=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-1.$$

   При $$n=1$$ имеем:

   $$S_1=\frac{1}{\sqrt2}<2\sqrt2-1.$$

   Предположим, что для некоторого $$n=k$$ неравенство верно:

   $$S_k=\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{k+1}}<2\sqrt{k+1}-1.$$

   Тогда

   $$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{\sqrt{k+2}}<2\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+2}}.$$

   Осталось показать, что

   $$2\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+2}}<2\sqrt{k+2}-1.$$

   Рассмотрим разность:

   $$2\sqrt{k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{k+2}}-(2\sqrt{k+2}-1)=2\sqrt{k+1}+\frac{1}{\sqrt{k+2}}-2\sqrt{k+2}.$$

   Преобразуем:

   $$2\sqrt{k+1}+\frac{1}{\sqrt{k+2}}-2\sqrt{k+2}=\frac{2\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}+1-2(k+2)}{\sqrt{k+2}}.$$

   Так как

   $$2\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}+1-2(k+2)=2\sqrt{k+1}\sqrt{k+2}-2(k+1)-1<0,$$

   то разность отрицательна. Значит,

   $$S_{k+1}<2\sqrt{k+2}-1.$$

   Следовательно, неравенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}-1,$$

$$\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n+1}}<2\sqrt{n+1}-1.$$