Упр.6.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Для каждого слагаемого имеем

   $$\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot 2},\quad \frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot 3},\quad \ldots,\quad \frac{1}{(n+1)^2}<\frac{1}{n(n+1)}.$$

   Тогда

   $$ S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}. $$

   Преобразуем сумму:

   $$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} = \left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right). $$

   Все промежуточные слагаемые сокращаются, поэтому

   $$S_n<1-\frac{1}{n+1}<1.$$

   Кроме того,

   $$1-\frac{1}{n+1}>0,$$

   значит,

   $$0<S_n<1.$$

2. б) Аналогично,

   $$\frac{1}{5^2}<\frac{1}{1\cdot 5},\quad \frac{1}{9^2}<\frac{1}{5\cdot 9},\quad \frac{1}{13^2}<\frac{1}{9\cdot 13},\quad \ldots,\quad \frac{1}{(4n+1)^2}<\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}.$$

   Следовательно,

   $$ S_n=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots+\frac{1}{(4n+1)^2} < \frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+\cdots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}. $$

   Преобразуем каждое слагаемое:

   $$ \frac{1}{(4k-3)(4k+1)}=\frac14\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k+1}\right). $$

   Тогда

   $$ S_n<\frac14\left(\frac15-\frac19+\frac19-\frac1{13}+\cdots+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+3}\right) =\frac14\left(1-\frac{1}{4n+3}\right). $$

   Отсюда

   $$S_n<\frac14.$$

   Так как

   $$\frac14\left(1-\frac{1}{4n+3}\right)>0,$$

   то

   $$0<S_n<\frac14.$$

Ответ

а) $$0<S_n<1$$; б) $$0<S_n<\frac14$$.