Упр.6.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) Докажем неравенство $$5^n>3n-1$$ при $$n\in \mathbb{N}$$.

   Введём функцию

   $$S_n=5^n-3n+1.$$

   При $$n=1$$ имеем

   $$S_1=5-3+1=3>0.$$

   Пусть для некоторого $$n$$ выполнено $$S_n>0$$. Тогда

   $$ S_{n+1}=5^{n+1}-3(n+1)+1 =5\cdot 5^n-3n-2 =(5^n-3n+1)+(4\cdot 5^n-3) =S_n+(4\cdot 5^n-3). $$

   Так как $$5^n\ge 5$$, то

   $$4\cdot 5^n-3\ge 4\cdot 5-3=17>0.$$

   Значит, $$S_{n+1}>0$$. Следовательно, $$5^n>3n-1$$ верно при всех $$n\in\mathbb{N}$$.

2. б) Докажем неравенство $$3^n>2n^2+3n$$ при $$n\in\mathbb{N},\ n\ge 4$$.

   Положим

   $$S_n=3^n-2n^2-3n.$$

   При $$n=4$$:

   $$S_4=3^4-2\cdot 4^2-3\cdot 4=81-32-12=37>0.$$

   Пусть для некоторого $$n$$ выполнено $$S_n>0$$. Тогда

   $$ S_{n+1}=3^{n+1}-2(n+1)^2-3(n+1) =3\cdot 3^n-2n^2-4n-2-3n-3 $$

   $$ =(3^n-2n^2-3n)+(2\cdot 3^n-4n-5) =S_n+(2\cdot 3^n-4n-5). $$

   Осталось показать, что $$2\cdot 3^n-4n-5>0$$ при $$n\ge 4$$. Так как $$3^n\ge 3^4=81$$, то

   $$2\cdot 3^n-4n-5\ge 2\cdot 81-16-5=141>0.$$

   Следовательно, $$S_{n+1}>0$$, значит, $$3^n>2n^2+3n$$ верно при всех $$n\ge 4$$.

3. в) Докажем неравенство $$2^n>5n+1$$ при $$n\in\mathbb{N},\ n\ge 5$$.

   Положим

   $$S_n=2^n-5n-1.$$

   При $$n=5$$:

   $$S_5=2^5-5\cdot 5-1=32-25-1=6>0.$$

   Пусть для некоторого $$n$$ выполнено $$S_n>0$$. Тогда

   $$ S_{n+1}=2^{n+1}-5(n+1)-1 =2\cdot 2^n-5n-6 =(2^n-5n-1)+(2^n-5) =S_n+(2^n-5). $$

   Так как $$n\ge 5$$, то $$2^n\ge 32$$, значит

   $$2^n-5\ge 27>0.$$

   Следовательно, $$S_{n+1}>0$$, то есть $$2^n>5n+1$$ верно при всех $$n\ge 5$$.

4. г) Докажем неравенство $$5^n>3n^2+10n$$ при $$n\in\mathbb{N},\ n\ge 3$$.

   Положим

   $$S_n=5^n-3n^2-10n.$$

   При $$n=3$$:

   $$S_3=5^3-3\cdot 3^2-10\cdot 3=125-27-30=68>0.$$

   Пусть для некоторого $$n$$ выполнено $$S_n>0$$. Тогда

   $$ S_{n+1}=5^{n+1}-3(n+1)^2-10(n+1) =5\cdot 5^n-3n^2-16n-13 $$

   $$ =(5^n-3n^2-10n)+(4\cdot 5^n-6n-13) =S_n+(4\cdot 5^n-6n-13). $$

   Так как $$n\ge 3$$, то $$5^n\ge 5^3=125$$, следовательно

   $$4\cdot 5^n-6n-13\ge 4\cdot 125-18-13=469>0.$$

   Значит, $$S_{n+1}>0$$, и неравенство верно при всех $$n\ge 3$$.

Ответ

Все неравенства доказаны методом математической индукции.