Упр.6.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии, записанной в виде

$$S_n=\frac{n}{a(a+dn)}.$$

1. $$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}.$$

   Здесь $$a=1$$, $$d=1$$, так как знаменатели имеют вид $$k(k+1)$$.

   Тогда

   $$S_n=\frac{n}{1(1+n)}=\frac{n}{n+1}.$$

   Проверим неравенство:

   $$\frac{n}{n+1}-1=\frac{n-(n+1)}{n+1}=-\frac{1}{n+1}<0.$$

   Следовательно,

   $$S_n<1.$$

2. $$S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{98\cdot 99}.$$

   Здесь $$a=1$$, $$d=1$$, а последний знаменатель даёт

   $$a+dn=99 \Rightarrow 1+n=99 \Rightarrow n=98.$$

   Тогда

   $$S_n=\frac{98}{1\cdot 99}=\frac{98}{99}.$$

   Так как

   $$\frac{98}{99}\approx 0{,}9899<0{,}99,$$

   то

   $$S_n<0{,}99.$$

3. $$S_n=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\dots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.$$

   Здесь $$a=1$$, $$d=2$$, так как знаменатели имеют вид $$1,3,5,\dots$$.

   Тогда

   $$S_n=\frac{n}{1(1+2n)}=\frac{n}{2n+1}.$$

   Проверим:

   $$\frac{n}{2n+1}-\frac12=\frac{2n-(2n+1)}{2(2n+1)}=-\frac{1}{2(2n+1)}<0.$$

   Значит,

   $$S_n<\frac12.$$

4. $$S_n=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\dots+\frac{1}{997\cdot 999}.$$

   Здесь $$a=1$$, $$d=2$$, а из условия

   $$a+dn=999 \Rightarrow 1+2n=999 \Rightarrow n=499.$$

   Тогда

   $$S_n=\frac{499}{999}.$$

   Сравним:

   $$\frac{499}{999}\approx 0{,}4995<0{,}4996.$$

   Следовательно,

   $$S_n<0{,}4996.$$

Ответ

а) $$S_n<1$$; б) $$S_n<0{,}99$$; в) $$S_n<\frac12$$; г) $$S_n<0{,}4996$$.