Упр.6.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

Докажем тождество

$$ \frac{1}{a(a+d)}+\frac{1}{(a+d)(a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)(a+3d)}+\cdots+\frac{1}{(a+d(n-1))(a+dn)}=\frac{n}{a(a+dn)}. $$

а) Доказательство методом математической индукции.

1) При $$n=1$$ получаем:

$$ S_1=\frac{1}{a(a+d)}=\frac{1}{a(a+d)}, $$

то есть формула верна.

2) Предположим, что для некоторого $$n$$ верно:

$$ S_n=\frac{n}{a(a+dn)}. $$

Докажем, что тогда формула верна и для $$n+1$$:

$$ S_{n+1}=S_n+\frac{1}{(a+dn)(a+d(n+1))}. $$

Подставим предположение индукции:

$$ S_{n+1}=\frac{n}{a(a+dn)}+\frac{1}{(a+dn)(a+d(n+1))}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S_{n+1}=\frac{n(a+d(n+1))+a}{a(a+dn)(a+d(n+1))}. $$

Упростим числитель:

$$ n(a+d(n+1))+a=na+nd(n+1)+a=(n+1)(a+dn). $$

Тогда

$$ S_{n+1}=\frac{(n+1)(a+dn)}{a(a+dn)(a+d(n+1))}=\frac{n+1}{a(a+d(n+1))}. $$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.

б) Доказательство без использования математической индукции.

Заметим, что

$$ \frac{1}{(a+kd)(a+d(k+1))}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a+kd}-\frac{1}{a+d(k+1)}\right). $$

Тогда сумма телескопируется:

$$ \begin{aligned} S_n&=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}\right)+\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a+d}-\frac{1}{a+2d}\right)+\cdots+\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a+d(n-1)}-\frac{1}{a+dn}\right)\\ &=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+dn}\right). \end{aligned} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S_n=\frac{1}{d}\cdot\frac{a+dn-a}{a(a+dn)}=\frac{1}{d}\cdot\frac{dn}{a(a+dn)}=\frac{n}{a(a+dn)}. $$

Что и требовалось доказать.