Упр.6.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

Докажем формулу
$$S_n=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1.$$
При $$n=1$$ получаем:
$$S_1=1\cdot 1!=1,$$
а правая часть равна
$$ (1+1)!-1=2!-1=2-1=1. $$
Формула верна при $$n=1$$.
Пусть она верна при $$n=k$$, то есть
$$S_k=1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+k\cdot k!=(k+1)!-1.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ S_{k+1}=S_k+(k+1)(k+1)! =\bigl((k+1)!-1\bigr)+(k+1)(k+1)! $$
$$ =(k+1)!\bigl(1+k+1\bigr)-1 =(k+1)!(k+2)-1 =(k+2)!-1. $$
Следовательно, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.
Докажем формулу
$$S_n=\frac1{2!}+\frac2{3!}+\frac3{4!}+\dots+\frac n{(n+1)!}=1-\frac1{(n+1)!}.$$
При $$n=1$$:
$$S_1=\frac1{2!}=\frac12,$$
а правая часть равна
$$1-\frac1{(1+1)!}=1-\frac1{2!}=1-\frac12=\frac12.$$
Формула верна при $$n=1$$.
Пусть она верна при $$n=k$$, то есть
$$\frac1{2!}+\frac2{3!}+\dots+\frac k{(k+1)!}=1-\frac1{(k+1)!}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \frac1{2!}+\frac2{3!}+\dots+\frac k{(k+1)!}+\frac{k+1}{(k+2)!} =\left(1-\frac1{(k+1)!}\right)+\frac{k+1}{(k+2)!}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ 1-\frac1{(k+1)!}+\frac{k+1}{(k+2)!} =1-\frac{k+2}{(k+2)!}+\frac{k+1}{(k+2)!} =1-\frac1{(k+2)!}. $$
Значит, формула верна для любого $$n\in\mathbb N$$.