Упр.6.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Докажем формулу общего члена арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1).$$

При $$n=1$$ получаем:

$$a_1=a_1+d(1-1)=a_1.$$

Пусть формула верна для некоторого $$n=k$$, то есть

$$a_k=a_1+d(k-1).$$

Тогда для следующего члена:

$$a_{k+1}=a_k+d=a_1+d(k-1)+d=a_1+dk=a_1+d((k+1)-1).$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

б) Докажем формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}.$$

При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{(2a_1+d(1-1))\cdot 1}{2}=\frac{2a_1}{2}=a_1.$$

Пусть формула верна для $$n=k$$:

$$S_k=\frac{(2a_1+d(k-1))k}{2}.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=\frac{(2a_1+d(k+1-1))(k+1)}{2} =\frac{(2a_1+dk)(k+1)}{2}. $$

Преобразуем:

$$ S_{k+1} =\frac{(2a_1+d(k-1))k}{2}+a_1+dk =S_k+a_{k+1}. $$

Значит, формула суммы верна для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

в) Докажем формулу общего члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

При $$n=1$$:

$$b_1=b_1q^{1-1}=b_1q^0=b_1.$$

Пусть формула верна для $$n=k$$:

$$b_k=b_1q^{k-1}.$$

Тогда

$$b_{k+1}=b_kq=b_1q^{k-1}\cdot q=b_1q^k=b_1q^{(k+1)-1}.$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

г) Докажем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \quad q\ne 1.$$

При $$n=1$$:

$$S_1=\frac{b_1(1-q)}{1-q}=b_1.$$

Пусть формула верна для $$n=k$$:

$$S_k=\frac{b_1(1-q^k)}{1-q}.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=\frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q} =\frac{b_1(1-q^k)+b_1q^k(1-q)}{1-q} =S_k+b_1q^k. $$

Так как $$b_{k+1}=b_1q^k$$, то

$$S_{k+1}=S_k+b_{k+1}.$$

Следовательно, формула верна для любого $$n\in \mathbb{N}$$.

Ответ

Доказаны формулы:

$$a_n=a_1+d(n-1), \quad S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}, \quad b_n=b_1q^{\,n-1}, \quad S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\ (q\ne 1).$$