Упр.52 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) x^2/(x-2) > =0;
б) (x+2)/(x-4)^2 > =0.

1. а) Рассмотрим неравенство

   $$\frac{x^2}{x-2}\ge 0.$$

   Числитель $$x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, и равен нулю только при $$x=0$$. Знаменатель не должен обращаться в нуль, значит $$x\ne 2$$.

   Чтобы дробь была неотрицательной, нужно:

   • либо $$x^2=0$$, тогда $$x=0$$;
   • либо $$x^2>0$$ и $$x-2>0$$, то есть $$x>2$$.

   Следовательно,

   $$x\in \{0\}\cup(2;+\infty).$$

2. б) Рассмотрим неравенство

   $$\frac{x+2}{(x-4)^2}\ge 0.$$

   Знаменатель $$ (x-4)^2>0 $$ при всех $$x\ne 4$$, поэтому знак дроби определяется числителем.

   Тогда нужно, чтобы

   $$x+2\ge 0,$$

   то есть

   $$x\ge -2,$$

   и при этом $$x\ne 4$$.

   Значит,

   $$x\in [-2;4)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in \{0\}\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in [-2;4)\cup(4;+\infty)$$.