Упр.51 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) (x^2+9)/(4x^2-1) < 0; б) 10/(1-100x^2) < 0.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2+9}{4x^2-1}<0.$$

Числитель всегда положителен, так как

$$x^2+9>0$$

при любом $x$.

Значит, дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$4x^2-1<0.$$

Решим неравенство:

$$4x^2<1$$

$$x^2<\frac14$$

$$-\frac12<x<\frac12.$$

При $x=\pm \frac12$ знаменатель обращается в нуль, поэтому эти точки не входят в ответ.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{10}{1-100x^2}<0.$$

Числитель положителен, значит дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:

$$1-100x^2<0.$$

Решим неравенство:

$$100x^2>1$$

$$x^2>\frac{1}{100}$$

$$|x|>\frac{1}{10}.$$

Следовательно,

$$x<-\frac{1}{10}\quad \text{или}\quad x>\frac{1}{10}.$$

Точки $x=\pm \frac{1}{10}$ не входят в ответ, так как в них знаменатель равен нулю.

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac12;\frac12\right).$$

б) $$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{10}\right)\cup\left(\frac{1}{10};+\infty\right).$$