Упр.5.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите свойства модуля действительного числа: а) |a| > a; в) |a| > а < = > а < 0; б) -|a| < а < |a|; г) |a| + \b\ + \с\ - 0 < = > а — b = с = 0.

1. а) Докажем, что $$|a|\ge a.$$

   Если $$a\ge 0,$$ то $$|a|=a,$$ значит $$|a|\ge a.$$

   Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ а так как $$-a>a,$$ то и в этом случае $$|a|\ge a.$$

2. б) Докажем, что $$-|a|\le a\le |a|.$$

   Если $$a\ge 0,$$ то $$|a|=a,$$ поэтому

   $$-|a|=-a\le a\le a=|a|.$$

   Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ и тогда

   $$-|a|=a\le a\le -a=|a|.$$

3. в) Докажем, что $$|a|>a \iff a<0.$$

   Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ а значит $$|a|=-a>a,$$ так как $$-a>a.$$

   Обратно, если $$|a|>a,$$ то при $$a\ge 0$$ было бы $$|a|=a,$$ что невозможно. Следовательно, $$a<0.$$

4. г) Докажем, что $$|a|+|b|+|c|=0 \iff a=b=c=0.$$

   Если $$a=b=c=0,$$ то

   $$|a|+|b|+|c|=0+0+0=0.$$

   Обратно, если $$|a|+|b|+|c|=0,$$ то каждое слагаемое неотрицательно:

   $$|a|\ge 0,\quad |b|\ge 0,\quad |c|\ge 0.$$

   Сумма неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит,

   $$|a|=|b|=|c|=0,$$

   откуда

   $$a=b=c=0.$$

Ответ

$$|a|\ge a; \quad -|a|\le a\le |a|; \quad |a|>a \iff a<0; \quad |a|+|b|+|c|=0 \iff a=b=c=0.$$