Упр.5.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях x верно равенство: а) |x| = x; в) |x| = -x; б) |х — 7| = x — 7; г) |x2 — 7x + 12| = 7x — x2 — 12?
а) Для равенства $$|x|=x$$ модуль равен самому числу, когда число неотрицательно:
$$x \ge 0.$$
б) Для равенства $$|x-7|=x-7$$ выражение под модулем должно быть неотрицательным:
$$x-7 \ge 0,$$
откуда
$$x \ge 7.$$
в) Для равенства $$|x|=-x$$ модуль равен противоположному числу, когда число неположительно:
$$x \le 0.$$
г) Рассмотрим равенство
$$|x^2-7x+12|=7x-x^2-12.$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит
$$7x-x^2-12 \ge 0,$$
то есть
$$x^2-7x+12 \le 0.$$
Тогда модуль раскрывается со знаком «минус»:
$$|x^2-7x+12|=-(x^2-7x+12).$$
Получаем уравнение, которое выполняется при условии
$$x^2-7x+12 \le 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$
Тогда
$$ (x-3)(x-4)\le 0,$$
откуда
$$3 \le x \le 4.$$
Ответ
а) $$x \ge 0$$; б) $$x \ge 7$$; в) $$x \le 0$$; г) $$3 \le x \le 4$$.
