Упр.5.27(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 5.27. Постройте график уравнения: а) |х + 2у| = 4; в) x + 2|у| = 4; б) |x| + 2у = 4; г) |x| + 2|у| = 4.

а) $$|x+2y|=4$$

Рассмотрим два случая:

$$ \begin{cases} x+2y=4,\\ y=\dfrac{4-x}{2} \end{cases} \qquad \begin{cases} x+2y=-4,\\ y=\dfrac{-4-x}{2} \end{cases} $$

График состоит из двух прямых $$y=\dfrac{4-x}{2}$$ и $$y=\dfrac{-4-x}{2}$$.

б) $$|x|+2y=4$$

Рассмотрим два случая:

$$ \begin{cases} x\ge 0,\\ x+2y=4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x<0,\\ -x+2y=4 \end{cases} $$

Отсюда:

$$ y=\dfrac{4-x}{2}\quad (x\ge 0), \qquad y=\dfrac{4+x}{2}\quad (x<0). $$

График — две полупрямые, соединяющиеся в точке $$\left(0,2\right)$$.

в) $$x+2|y|=4$$

Рассмотрим два случая:

$$ \begin{cases} y\ge 0,\\ x+2y=4 \end{cases} \qquad \begin{cases} y<0,\\ x-2y=4 \end{cases} $$

Отсюда:

$$ y=\dfrac{4-x}{2}\quad (y\ge 0), \qquad y=\dfrac{x-4}{2}\quad (y<0). $$

График состоит из двух полупрямых, симметричных относительно оси $$Ox$$.

г) $$|x|+2|y|=4$$

Рассмотрим все возможные знаки $$x$$ и $$y$$:

$$ \begin{cases} x\ge 0,\ y\ge 0, & x+2y=4,\\ x<0,\ y\ge 0, & -x+2y=4,\\ x\ge 0,\ y<0, & x-2y=4,\\ x<0,\ y<0, & -x-2y=4. \end{cases} $$

График — ромб с вершинами $$\left(4,0\right)$$, $$\left(-4,0\right)$$, $$\left(0,2\right)$$, $$\left(0,-2\right)$$.

Ответ

а) две прямые $$y=\dfrac{4-x}{2}$$ и $$y=\dfrac{-4-x}{2}$$;
б) две полупрямые, соединяющиеся в точке $$\left(0,2\right)$$;
в) две полупрямые, симметричные относительно оси $$Ox$$;
г) ромб с вершинами $$\left(4,0\right)$$, $$\left(-4,0\right)$$, $$\left(0,2\right)$$, $$\left(0,-2\right)$$.