Упр.5.25(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 5.25. Найдите наименьшее значение функции: а) у = 2 + |х + 5|; в) у = |х — 2| — |х + 5|; б) у = |х — 2| + |х + 5|; г) у = |х — 2| • |х + 5|.

1. а) $$y=2+|x+5|.$$

   Так как $$|x+5|\ge 0,$$ то

   $$y\ge 2.$$

   Минимум достигается при $$x=-5$$.

2. б) $$y=|x-2|+|x+5|.$$

   Рассмотрим точки $$x=-5$$ и $$x=2$$.

   Если $$-5\le x\le 2,$$ то
   $$|x-2|=2-x,\quad |x+5|=x+5,$$
   значит
   $$y=(2-x)+(x+5)=7.$$

   Если $$x<-5,$$ то
   $$y=(2-x)+(-x-5)=-2x-3>7.$$

   Если $$x>2,$$ то
   $$y=(x-2)+(x+5)=2x+3>7.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$7$$.

3. в) $$y=|x-2|-|x+5|.$$

   Если $$x\ge 2,$$ то
   $$y=(x-2)-(x+5)=-7.$$

   Если $$-5\le x<2,$$ то
   $$y=(2-x)-(x+5)=-2x-3,$$
   и при $$x\to 2-$$ получаем $$y\to -7,$$ а при $$x=-5$$ имеем $$y=7.$$

   Если $$x<-5,$$ то
   $$y=(2-x)-(-x-5)=7.$$

   Наименьшее значение равно $$-7$$.

4. г) $$y=|x-2|\cdot|x+5|.$$

   Так как произведение модулей неотрицательно, то $$y\ge 0.$$

   Минимум достигается, когда хотя бы один множитель равен нулю:

   $$x=2 \quad \text{или} \quad x=-5.$$

   Тогда $$y=0.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$7$$; в) $$-7$$; г) $$0$$.