Упр.5.23(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 5.23. а) у = |х — 5| * (x + 3); б) у = |х + 3| • |1 — x|.

а) $$y=|x-5|(x+3).$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\ge 5,$$ то $$|x-5|=x-5,$$ значит

$$ y=(x-5)(x+3)=x^2-2x-15. $$

2) Если $$x<5,$$ то $$|x-5|=-(x-5)=5-x,$$ значит

$$ y=-(x-5)(x+3)=-x^2+2x+15. $$

Итак,

$$ y= \begin{cases} x^2-2x-15, & x\ge 5,\\ -x^2+2x+15, & x<5. \end{cases} $$

Найдём основные точки для построения графика.

Для $$y=x^2-2x-15$$:

$$ x^2-2x-15=0,\quad (x-5)(x+3)=0, $$

откуда $$x=5$$ или $$x=-3.$$

Для $$y=-x^2+2x+15$$:

$$ -x^2+2x+15=0,\quad x^2-2x-15=0, $$

откуда снова $$x=5$$ или $$x=-3.$$

Вершины парабол:

$$ x_0=\frac{-b}{2a}=1,\qquad y_0=1^2-2\cdot1-15=-16 $$

для первой и

$$ x_0=\frac{-b}{2a}=1,\qquad y_0=-1^2+2\cdot1+15=16 $$

для второй.

б) $$y=|x+3|\cdot|1-x|.$$

Разобьём числовую прямую точками $$x=-3$$ и $$x=1.$$

1) Если $$x<-3,$$ то $$|x+3|=-(x+3),\ |1-x|=1-x,$$ поэтому

$$ y=-(x+3)(1-x)=x^2+2x-3. $$

2) Если $$-3\le x\le 1,$$ то $$|x+3|=x+3,\ |1-x|=1-x,$$ поэтому

$$ y=(x+3)(1-x)=-x^2-2x+3. $$

3) Если $$x>1,$$ то $$|x+3|=x+3,\ |1-x|=x-1,$$ поэтому

$$ y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3. $$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} x^2+2x-3, & x<-3,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 1,\\ x^2+2x-3, & x>1. \end{cases} $$

Ключевые точки: $$(-3,0)$$ и $$ (1,0).$$ В середине график задаётся параболой с вершиной

$$ x_0=\frac{-b}{2a}=-1,\qquad y_0=-(-1)^2-2(-1)+3=4, $$

то есть вершина $$(-1,4).$$

Ответ

а) $$y= \begin{cases} x^2-2x-15, & x\ge 5,\\ -x^2+2x+15, & x<5; \end{cases}$$

б) $$y= \begin{cases} x^2+2x-3, & x<-3,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 1,\\ x^2+2x-3, & x>1. \end{cases}$$