Упр.5.22(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции: 5.22. а) у = |х — 5|; в) у = 2 — |1 — х|; б) у = |х + 3| + |1 — х|; г) у = |х + 3| — |1 — х|.

1. а) $$y=|x-5|$$

   Это график модуля, сдвинутый вправо на $$5$$.

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[0;+\infty)$$

   Убывает на $$(-\infty;5]$$, возрастает на $$[5;+\infty)$$.

   Нуль функции: $$|x-5|=0 \Rightarrow x=5$$.

2. б) $$y=|x+3|+|1-x|$$

   Рассмотрим промежутки, где знаки выражений под модулем постоянны:

   $$x\le -3,\quad -3\le x\le 1,\quad x\ge 1$$

   1) Если $$x\le -3$$, то
   $$y=-(x+3)+(1-x)=-2x-2.$$

   2) Если $$-3\le x\le 1$$, то
   $$y=(x+3)+(1-x)=4.$$

   3) Если $$x\ge 1$$, то
   $$y=(x+3)+(x-1)=2x+2.$$

   Значит, график состоит из трёх частей: прямой $$y=-2x-2$$ при $$x\le -3$$, отрезка $$y=4$$ при $$-3\le x\le 1$$ и прямой $$y=2x+2$$ при $$x\ge 1$$.

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[4;+\infty)$$

   Убывает на $$(-\infty;-3]$$, постоянна на $$[-3;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$.

   Нулей нет, так как $$y\ge 4$$.

3. в) $$y=2-|1-x|$$

   Так как $$|1-x|=|x-1|$$, рассмотрим два случая:

   1) Если $$x\le 1$$, то
   $$y=2-(1-x)=1+x.$$

   2) Если $$x\ge 1$$, то
   $$y=2-(x-1)=3-x.$$

   График состоит из двух лучей: $$y=1+x$$ при $$x\le 1$$ и $$y=3-x$$ при $$x\ge 1$$, вершина в точке $$\left(1;2\right)$$.

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;2]$$

   Возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$.

   Нули функции:

   $$2-|1-x|=0 \Rightarrow |1-x|=2$$
   $$1-x=2 \Rightarrow x=-1$$
   $$1-x=-2 \Rightarrow x=3$$

4. г) $$y=|x+3|-|1-x|$$

   Рассмотрим три промежутка:

   1) Если $$x\le -3$$, то
   $$y=-(x+3)-(1-x)=-4.$$

   2) Если $$-3\le x\le 1$$, то
   $$y=(x+3)-(1-x)=2x+2.$$

   3) Если $$x\ge 1$$, то
   $$y=(x+3)-(x-1)=4.$$

   Следовательно, график состоит из трёх частей: $$y=-4$$ при $$x\le -3$$, $$y=2x+2$$ при $$-3\le x\le 1$$, $$y=4$$ при $$x\ge 1$$.

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[-4;4]$$

   Постоянна на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;1]$$, постоянна на $$[1;+\infty)$$.

   Нули функции:

   $$2x+2=0 \Rightarrow x=-1$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty),\ y\downarrow (-\infty;5],\ y\uparrow [5;+\infty),\ x_0=5.$$

б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[4;+\infty),\ y\downarrow (-\infty;-3],\ y=\text{const на }[-3;1],\ y\uparrow [1;+\infty),\ \text{нулей нет}.$$

в) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;2],\ y\uparrow (-\infty;1],\ y\downarrow [1;+\infty),\ x=-1,\ 3.$$

г) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-4;4],\ y=\text{const на }(-\infty;-3],\ y\uparrow [-3;1],\ y=\text{const на }[1;+\infty),\ x=-1.$$