Упр.5.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) Найдите все значения а, при которых |х — 2| = а, если |х — а| = 1; б) найдите все значения а, при которых |х — 2а + а2| = а, если |х — а| = 2 — а.

Подробный ответ

а) Пусть $$|x-a|=1.$$ Тогда возможны два случая:

$$x-a=1 \quad \text{или} \quad x-a=-1.$$

1) Если $$x-a=1,$$ то $$x=a+1.$$ Подставим в уравнение $$|x-2|=a$$:

$$|a+1-2|=a \Rightarrow |a-1|=a.$$

Рассмотрим случаи:

$$a-1=a \Rightarrow -1=0 \quad \text{— нет решений};$$

$$1-a=a \Rightarrow 1=2a \Rightarrow a=\frac12.$$

2) Если $$x-a=-1,$$ то $$x=a-1.$$ Тогда

$$|a-1-2|=a \Rightarrow |a-3|=a.$$

Рассмотрим случаи:

$$a-3=a \Rightarrow -3=0 \quad \text{— нет решений};$$

$$3-a=a \Rightarrow 3=2a \Rightarrow a=\frac32.$$

Значит, для пункта а) подходят значения $$a=\frac12$$ и $$a=\frac32.$$

б) Пусть $$|x-a|=2-a.$$ Тогда обязательно $$2-a\ge 0,$$ то есть $$a\le 2.$$

Рассмотрим два случая:

1) $$x-a=2-a,$$ откуда $$x=2.$$ Подставим в уравнение $$|x-2a+a^2|=a$$:

$$|2-2a+a^2|=a.$$

Так как $$2-2a+a^2=a^2-2a+2>0,$$ получаем

$$a^2-2a+2=a \Rightarrow a^2-3a+2=0.$$

$$a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0,$$

откуда $$a=1$$ или $$a=2.$$ Оба значения удовлетворяют условию $$a\le 2.$$

2) $$x-a=-(2-a),$$ откуда $$x=2a-2.$$ Тогда

$$|2a-2-2a+a^2|=a \Rightarrow |a^2-2|=a.$$

Рассмотрим случаи:

$$a^2-2=a \Rightarrow a^2-a-2=0 \Rightarrow (a-2)(a+1)=0,$$

откуда $$a=2$$ или $$a=-1.$$ Но из условия $$a\le 2$$ и $$a=|x-2a+a^2|\ge 0,$$ поэтому $$a=-1$$ не подходит.

$$2-a^2=a \Rightarrow a^2+a-2=0 \Rightarrow (a-1)(a+2)=0,$$

откуда $$a=1$$ или $$a=-2.$$ Значение $$a=-2$$ не подходит, так как правая часть $$|x-a|=2-a$$ должна быть неотрицательной, а при $$a=-2$$ получаем $$2-a=4,$$ но левая часть в этом случае не может дать отрицательное $$a$$ в уравнении $$|x-2a+a^2|=a.$$ Следовательно, остаются $$a=1$$ и $$a=2.$$