Упр.5.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) |х + 5| > 5x — 7; в) |7x + 4| > 6 + 5x; б) |х2 + x — 5| > Зх; г) |-x2 — х| > 4x — 2.

1. $$|x+5|>5x-7$$

   Если $$5x-7<0,$$ то неравенство выполняется при любых $$x$$ из этой области:

   $$5x-7<0 \Rightarrow x<\frac{7}{5}.$$

   Если $$5x-7\ge 0,$$ то возводим обе части в квадрат:

   $$ (x+5)^2>(5x-7)^2 $$
   $$ x^2+10x+25>25x^2-70x+49 $$
   $$ 24x^2-80x+24<0 $$
   $$ 3x^2-10x+3<0 $$
   $$ (3x-1)(x-3)<0 $$
   $$ \frac13<x<3. $$

   С учётом условия $$x\ge \frac75$$ получаем:

   $$x\in\left[\frac75;3\right).$$

   Объединяя с случаем $$x<\frac75,$$ получаем:

   $$x<3.$$

2. $$|x^2+x-5|>3x$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x^2+x-5\ge 0,$$ то

   $$ x^2+x-5>3x $$
   $$ x^2-2x-5>0 $$
   $$ x<1-\sqrt6 \quad \text{или} \quad x>1+\sqrt6. $$

   При этом должно выполняться $$x^2+x-5\ge 0,$$ то есть

   $$ x\le \frac{-1-\sqrt{21}}{2} \quad \text{или} \quad x\ge \frac{-1+\sqrt{21}}{2}. $$

   2) Если $$x^2+x-5<0,$$ то

   $$ -(x^2+x-5)>3x $$
   $$ x^2+4x-5<0 $$
   $$ (x+5)(x-1)<0 $$
   $$ -5<x<1. $$

   При этом должно выполняться $$x^2+x-5<0,$$ то есть

   $$ \frac{-1-\sqrt{21}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{21}}{2}. $$

   Пересечение даёт:

   $$ x\in\left(\frac{-1-\sqrt{21}}{2};\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right). $$

   3) Если $$3x<0,$$ то есть $$x<0,$$ неравенство выполняется автоматически при $$|x^2+x-5|>3x.$$

   Итак,

   $$ x\in\left(-\infty;\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right). $$

3. $$|7x+4|\ge 6+5x$$

   Если $$6+5x\le 0,$$ то неравенство верно при любых таких $$x$$:

   $$6+5x\le 0 \Rightarrow x\le -\frac65.$$

   Если $$6+5x>0,$$ то возводим в квадрат:

   $$ (7x+4)^2\ge (6+5x)^2 $$
   $$ 49x^2+56x+16\ge 25x^2+60x+36 $$
   $$ 24x^2-4x-20\ge 0 $$
   $$ 6x^2-x-5\ge 0 $$
   $$ (6x-5)(x+1)\ge 0 $$
   $$ x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge \frac56. $$

   С учётом условия $$x>-\frac65$$ получаем:

   $$x\in\left(-\frac65;-1\right]\cup\left[\frac56;+\infty\right).$$

   Объединяя с случаем $$x\le -\frac65,$$ имеем:

   $$x\in\left(-\infty;-1\right]\cup\left[\frac56;+\infty\right).$$

4. $$|-x^2-x|\ge 4x-2$$

   Так как $$|-x^2-x|=|x^2+x|,$$ рассмотрим случаи.

   1) Если $$x^2+x\le 0,$$ то

   $$ -x^2-x\ge 4x-2 $$
   $$ x^2+5x-2\le 0. $$

   Корни уравнения $$x^2+5x-2=0$$:

   $$ x=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{2}. $$

   Тогда

   $$ x\in\left[\frac{-5-\sqrt{33}}{2};\frac{-5+\sqrt{33}}{2}\right]. $$

   С учётом условия $$x^2+x\le 0,$$ то есть $$x\in[-1;0],$$ получаем:

   $$x\in[-1;0].$$

   2) Если $$x^2+x>0,$$ то

   $$ x^2+x\ge 4x-2 $$
   $$ x^2-3x+2\ge 0 $$
   $$ (x-1)(x-2)\ge 0 $$
   $$ x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2. $$

   С учётом условия $$x^2+x>0,$$ то есть $$x<-1$$ или $$x>0,$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x<3$$;
б) $$x\in\left(-\infty;\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\right)$$;
в) $$x\in\left(-\infty;-1\right]\cup\left[\frac56;+\infty\right)$$;
г) $$x\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$