Упр.5.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: •5.16. а) |х + 4| < 2x; б) |x2 - 4x| < 3х; в) |х -14| < 8 + 2x; г) |x2 + 7x| < 4x + 10.

Подробный ответ

$$|x+4|<2x$$
Правая часть должна быть положительной, значит $$2x>0$$, то есть $$x>0$$.

Тогда
$$ -2x<x+4<2x $$

Из левой части получаем:
$$ x+4>-2x \\ 3x>-4 \\ x>-\frac{4}{3} $$

Из правой части:
$$ x+4<2x \\ x>4 $$

С учётом условия $$x>0$$ получаем:
$$ x>4 $$
$$|x^2-4x|<3x$$
Правая часть должна быть положительной, значит $$3x>0$$, то есть $$x>0$$.

При $$x>0$$ можно разделить на $$x$$:
$$ |x(x-4)|<3x \\ |x-4|<3 $$
Тогда
$$ -3<x-4<3 \\ 1<x<7 $$
$$|x-14|\le 8+2x$$

Правая часть должна быть неотрицательной:
$$ 8+2x\ge 0 \\ x\ge -4 $$

Решим двойное неравенство:
$$ -(8+2x)\le x-14\le 8+2x $$

Левая часть:
$$ -8-2x\le x-14 \\ 6\le 3x \\ x\ge 2 $$

Правая часть:
$$ x-14\le 8+2x \\ -22\le x $$

Пересечение условий:
$$ x\ge 2 $$
$$|x^2+7x|\le 4x+10$$

Правая часть должна быть неотрицательной:
$$ 4x+10\ge 0 \\ x\ge -\frac{5}{2} $$

Рассмотрим знак выражения под модулем:
$$ x^2+7x=x(x+7) $$

1) Если $$x^2+7x\ge 0$$, то
$$ x^2+7x\le 4x+10 \\ x^2+3x-10\le 0 \\ (x+5)(x-2)\le 0 $$
Отсюда
$$ -5\le x\le 2 $$
С учётом $$x^2+7x\ge 0$$ получаем:
$$ x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 0 $$
Значит, в этом случае:
$$ x\in [0;2] $$

2) Если $$x^2+7x<0$$, то
$$ -(x^2+7x)\le 4x+10 \\ x^2+11x+10\ge 0 \\ (x+1)(x+10)\ge 0 $$
Отсюда
$$ x\le -10 \quad \text{или} \quad x\ge -1 $$
С учётом $$-7<x<0$$ получаем:
$$ x\in [-1;0) $$

Объединяем:
$$ x\in [-1;2] $$