Упр.49.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников и каждый из них умный или красивый, или и умный, и красивый. a) Сколько учеников, которые и умны, и красивы? б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы? в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны? г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах a) и в) были одинаковы.

Обозначим: $$A$$ — множество красивых учеников, $$B$$ — множество умных учеников. Тогда $$N(A)=22$$, $$N(B)=18$$, $$N(A\cup B)=30$$.

а) Число учеников, которые и умны, и красивы:

$$N(A\cap B)=N(A)+N(B)-N(A\cup B)=22+18-30=10.$$

б) Число учеников, которые умны, но не красивы:

$$N(B\setminus A)=N(B)-N(A\cap B)=18-10=8.$$

в) Число учеников, которые красивы, но не умны:

$$N(A\setminus B)=N(A)-N(A\cap B)=22-10=12.$$

г) Чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы, нужно, чтобы

$$N(A\cap B)=N(A\setminus B).$$

Пусть это число равно $$x$$. Тогда

$$N(A)-x=x,$$

откуда

$$22-x=x,\quad 2x=22,\quad x=11.$$

Тогда общее число учеников должно быть

$$N(A\cup B)=N(A)+N(B)-N(A\cap B)=22+18-11=29.$$

Ответ

а) $$10$$; б) $$8$$; в) $$12$$; г) $$29$$.