Упр.49.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: В круге с центром в начале координат и радиусом л случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что: a) сумма координат этой точки больше 3; б) произведение координат этой точки меньше 4; в) эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом корень3 г) эта точка лежит вне треугольника с вершинами (0; 2), (-2; -2), (1; -2).

Обозначим через $$N$$ число всех точек с целыми координатами, лежащих в круге $$x^2+y^2\le \pi^2.$$

Так как $$\pi^2\approx 9{,}87,$$ то для целых координат возможны значения $$x,y\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.$$

Посчитаем все такие точки. В первой четверти и на осях получаем:

$$1^2+0^2,\; 1^2+1^2,\; 2^2+0^2,\; 2^2+1^2,\; 2^2+2^2,\; 3^2+0^2 \le \pi^2,$$

то есть подходят точки с координатами, для которых $$x^2+y^2\le 9.$$ Всего таких точек в круге:

$$N=29.$$

а) Сумма координат больше $$3$$ только у точки $$ (2;2). $$

Тогда

$$N(A)=1,\qquad P(A)=\frac{1}{29}.$$

б) Произведение координат меньше $$4$$ не выполняется только для точек $$(-2;-2)$$ и $$ (2;2). $$

Значит,

$$N(A)=29-2=27,\qquad P(A)=\frac{27}{29}.$$

в) В круге с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{3}$$ лежат точки с целыми координатами, для которых

$$x^2+y^2\le 3.$$

Это точки:

$$ (0;0),\; (\pm1;0),\; (0;\pm1),\; (\pm1;\pm1). $$

Всего их $$9$$, поэтому

$$P(A)=\frac{9}{29}.$$

г) В треугольнике с вершинами $$ (0;2),\; (-2;-2),\; (1;-2) $$ лежат $$10$$ точек с целыми координатами, значит вне треугольника находятся

$$29-10=19$$ точек.

Тогда

$$P(A)=\frac{19}{29}.$$

Ответ

$$\frac{1}{29};\ \frac{27}{29};\ \frac{9}{29};\ \frac{19}{29}.$$