Упр.49.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Из значений n! для n- 1, 2, 3,…, 25 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: a) меньше миллиона; б) больше миллиарда; в) делится на миллион; г) не делится на тысячу.

Рассмотрим значения $$n!$$ при $$n=1,2,\dots,25$$.

а) Найдём, при каких $$n$$ выполняется $$n!<1\,000\,000$$:

$$ 9! = 362\,880 < 1\,000\,000, \qquad 10! = 3\,628\,800 > 1\,000\,000. $$

Значит, подходят $$n=1,2,\dots,9$$, всего 9 чисел.

$$ P=\frac{9}{25}=0{,}36. $$

б) Найдём, при каких $$n$$ выполняется $$n!>1\,000\,000\,000$$:

$$ 12! = 479\,001\,600 < 10^9, \qquad 13! = 6\,227\,020\,800 > 10^9. $$

Значит, подходят $$n=13,14,\dots,25$$, всего $$25-12=13$$ чисел.

$$ P=\frac{13}{25}=0{,}52. $$

в) Число $$n!$$ делится на миллион, если в его разложении есть не менее 6 двоек и 6 пятёрок, то есть если $$n!$$ содержит не менее 6 нулей на конце.

Количество нулей в $$n!$$ начинает быть не меньше 6 при $$n=25$$, а для $$n=25$$:

$$ \left\lfloor \frac{25}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{25}{25} \right\rfloor = 5+1=6. $$

Только число $$25!$$ делится на миллион, значит, таких чисел 1.

$$ P=\frac{1}{25}=0{,}04. $$

г) Число $$n!$$ не делится на тысячу, если в нём меньше 3 нулей на конце.

Для $$15!$$:

$$ \left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{15}{25} \right\rfloor = 3+0=3. $$

Значит, начиная с $$15!$$, все числа делятся на тысячу. Не делятся на тысячу только $$1!,2!,\dots,14!$$ — всего 14 чисел.

$$ P=\frac{14}{25}=0{,}56. $$

Ответ

$$0{,}36;\ 0{,}52;\ 0{,}04;\ 0{,}56.$$