Упр.49.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадет в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу. a) Какова вероятность р(n) того, что ему хватит n выстрелов? б) Найдите предел этой вероятности при n — > оо. в) Численные результаты для n — 1, 2, 3, …, 7 соберите в таблицу.

Вероятность попадания при одном выстреле равна $$p=0{,}1,$$ значит вероятность промаха равна $$q=1-p=0{,}9.$$

Чтобы стрелку хватило $$n$$ выстрелов, нужно, чтобы первые $$n-1$$ выстрелов были промахами, а $$n$$-й — попаданием. Тогда

$$p(n)=q^{\,n-1}\cdot p=0{,}9^{\,n-1}\cdot 0{,}1.$$

Найдём предел при $$n\to\infty$$:

$$\lim_{n\to\infty}0{,}9^{\,n-1}\cdot 0{,}1=0.$$

Вычислим значения для $$n=1,2,3,4,5,6,7$$:

Сумма вероятностей первых $$n$$ случаев образует геометрическую прогрессию:

$$p(1)+p(2)+\dots+p(n)=0{,}1+0{,}1\cdot 0{,}9+0{,}1\cdot 0{,}9^2+\dots+0{,}1\cdot 0{,}9^{n-1}.$$

При $$n\to\infty$$ получаем

$$S=\frac{0{,}1}{1-0{,}9}=1.$$

Ответ

а) $$p(n)=0{,}9^{\,n-1}\cdot 0{,}1$$; б) $$0$$; в) значения приведены в таблице; г) $$1$$.