Упр.49.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.) a) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется? б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений? в) Какова вероятность того, что хватит именно п повторений? г) Найдите предел этой вероятности при n — > оо.

В алфавите 33 буквы, из них 10 гласных и 23 согласные. Карточку после каждого выбора возвращают обратно, значит, все испытания независимы.

Обозначим вероятность вытащить согласную букву как $$\frac{23}{33}$$, а гласную — как $$\frac{10}{33}$$.

1. Чтобы гласная выпала с первого раза, нужно сразу вытащить гласную:

   $$P_1=\frac{10}{33}\approx 0{,}303.$$

2. Чтобы хватило двух повторений, в первый раз должна выпасть согласная, а во второй — гласная:

   $$P_2=\frac{23}{33}\cdot\frac{10}{33}=\frac{230}{1089}\approx 0{,}211.$$

3. Чтобы хватило ровно $$n$$ повторений, первые $$n-1$$ раз должна выпадать согласная, а в $$n$$-й раз — гласная:

   $$P_n=\left(\frac{23}{33}\right)^{n-1}\cdot\frac{10}{33}.$$

4. Найдём предел при $$n\to\infty$$:

   $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{33}\right)^{n-1}\cdot\frac{10}{33}=0,$$

   так как $$\frac{23}{33}<1$$ и степень такого числа при неограниченном росте $$n$$ стремится к нулю.

Ответ

а) $$\frac{10}{33}\approx 0{,}303$$; б) $$\frac{230}{1089}\approx 0{,}211$$; в) $$\left(\frac{23}{33}\right)^{n-1}\cdot\frac{10}{33}$$; г) $$0$$.